Простые проценты

С математической точки зрения один процент от К означает сотую долю этого числа К, а сам символ 1% значит 0,01К.Например, 5% от К равны 0,05К.

Под процентными деньгами понимают абсолютную величину дохода от представления денег в долг в любой форме: выдача ссуды, продажа товара в кредит, помещение денег на депозитный счет и т.д. При заключении финансового или кредитного соглашения стороны (кредитор и заемщик) договариваются о размере процентной ставки. Под нормой процента, эффективностью вложения, (нормой доходности) понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени – отношение дохода (процентных денег) к сумме долга. Ставка процента – один из важнейших элементов коммерческих, кредитных или инвестиционных контрактов. Она измеряется в виде десятичной дроби.

Рассмотрим случай, когда денежная сумма К₀ , называемая основной, инвестирована на срок n –лет (месяцев) под простые проценты по ставке p-процентов в год (месяц). Тогда через один процентный срок (месяц, год) капитал будет равен:

К₁= К₀ + К₀ · р = К₀ (1+р);

где К_{1 –} значение, которое примет через год вложенная сейчас сумма денег; р –норма доходности (прибыльности) вложения.

через два срока:

К₂ = К₁ +К₀ ·р = К₀(1+р )+К₀·р = К₀ (1+2р ),

и т.д., через n- лет (месяцев):

К_n= K_n-1+K₀·p = K₀(1+(n-1)·p ) + K₀ p = K₀(1+n· p ) .

Или

К_n = К₀ + К₀ p·n.

Выражение

К_n = K₀(1 + n·p )

называют формулой простых процентов. Значение

а_n = 1 + n·p

называют множителем наращения или аккумулирующим множителем.

К_n = K₀· a_n .

ПРИМЕР 1 . Предположим, что 10000 гривен положены в банк под 6% годовых. Найти величину вклада через 5 лет .

Решение. К₀ = 10000; р = 0,06; n = 5, тогда

K_n = K₀·(1 + n·p ) = 10000 ·(1+ 5 ·0,06 ) = 10000 · 1,3 = 13000гр.

ПРИМЕР 2. Предположим, что 10000 гривен положены в банк под 1,5% в квартал. Какова будет величина вклада через 20 кварталов?

Решение. В данном случае К₀ = 10000; р = 0,015; n = 20 ,тогда

K_n = K₀·(1+n·p ) = 10000·(1+ 0,015 ·20 ) = 10000·1,3 = 13000(гр.)

Совпадение конечного капитала или накопленных сумм при годовой ставке в 6% и квартальном начислении процентов при ставке 1,5% свидетельствует о том, что при простом начислении процентов эти две процедуры идентичны.

Сложные проценты

Если проценты в конце каждого инвестиционного периода прибавляются к основной сумме и полученная сумма является исходной для начисления процентов в следующем периоде, то начисленные к концу срока проценты называются сложными процентами.

Предположим, что в начальный момент t = 0 инвестирована сумма К₀ и что проценты начисляются по ставке р за период.

Тогда: - через один период наращенная сумма равна:

K₁ = K₀ + K ₀ p = K₀ (1+p),

а проценты

I₁ = K₀ p ;

- через два периода наращенная сумма будет равна:

К₂ = К₁+ К₁ р = К₁ ( 1+ р ) = К₀ (1+ р )²,

а проценты составят величину:

I₂ = К₁ р;

и т.д., через n-периодов наращенная сумма равна:

К_n = К₀ (1+ р )ⁿ, (1)

а проценты

I_n = К_n-1 р.

Множитель

q_n = (1+ p ) ⁿ ,

называют множителем наращения за n периодов и, следовательно,

К_n = K₀ q _n

Легко видеть, что последовательность К₀, К₁, К₂, … , К_n есть геометрическая прогрессия со знаменателем q = 1+ p и тогда q _n = q ⁿ.

Простейшим способом формулу (1) можно интерпретировать как определение величины депозитного вклада в банк при депозитной ставке р (в долях единицы). Сущность процесса наращения денег не изменяется, если деньги вкладываются в какой-либо бизнес (предприятие). Главное, чтобы вложения денег обеспечивали доход, то есть увеличение вложенной суммы.

ПРИМЕР 3 . Пусть 10 тыс. гривен инвестированы на 4 месяца по ставке 10%. Найти наращенную по сложным процентам сумму в конце каждого месяца.

Решение. В данном примере К₀ = 10 тыс., р = 0,1; n = 4 года. Проценты за первый месяц составят

I₁ = 10  0,1 = 1 тыс.,

а наращенная к концу первого периода сумма будет равна

K₁ = 10 + 1 = 11 = 10 ( 1 + 0,1) тыс.