Симплексные таблицы.

Поскольку решать ЗЛП, используя такие рассуждения, как это делалось в предыдущем примере, явно неудобно для компактной записи решения, а так же для возможности программирования алгоритма решения на ЭВМ используются так называемые симплекс-таблицы. Для этого систему ограничений сведем к единичному базису

х₁ + а_1,r+1 х_г+1 + ... + a_1n х _n = b₁

х_i + а_i,r+1 х_г+1 + .... + a_{i n} х _n = b_i (9)

х_r + а_r,r+1 х_г+1 + ... + a_{r n} х _n = b_r

а целевую функцию F - к виду:

F = C_г+1 x_r+1 + ... + C_j х _j +…+ C_nx_n + C₀ (10)

Равенство (10) будем называть приведённым (к свободным переменным) выражением для функции F а коэффициенты C_j – оценками (индексами) соответствующих свободных переменных х_j.

Коэффициенты приведенной выше системы ограничений (9), а так же различные вспомогательные переменные заносятся в симплексную таблицу (Таблица 1)

Таблица 1

Базисные перемен-ные	Свободные члены	х1	...	хi	...	xr	хг+1	...	xj	...	хn
х1	b1	1	...	0	...	0	а1,r+1	...	a1j	...	a1n
...		...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
хi	bi	0	...	1	...	0	аi,r+1	...	aij	...	ain
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
xr	br	0	...	0	...	1	аr,r+1	...	arj	...	arn
F=	C0	0	...	0	...	0	- Cг+1	...	- Cj	...	- Cn

Первые r столбцов с неизвестными x_i - это единичные столбцы при базисных переменных x₁,…,x_r . Следующие n-r столбцов – это столбцы при свободных переменных x_r+1,…,x_n. Полагая свободные переменные x_r+1 = …=

=x_n = 0, находим базисные переменные x₁ = b₁,…, x_r = b_r. При этом значение целевой функции F = C₀.

Найденный вектор-план X₁ = и значение целевой функции F = C₀ соответствуют некоторой вершине многоугольника допустимых решений. Переход к другой вершине и, следовательно, к другому вектор-плану и другому значению целевой функции осуществляется с помощью пересчета данной симплексной таблицы.

Следует учесть, что значение целевой функции F_н на новом базисе (в новой вершине) выражается через значение этой целевой функции F_c на старом базисе (в предыдущей вершине) по формуле

F_н = F_с - (11)

В нашем случае - оценка замещения, значение которой указывает на какую величину изменится значение целевой функции, если столбец свободных переменных x_j , соответствующий этой оценке , ввести в число базисных столбцов. Оценки замещения приведены в последней строке симплексной таблицы. Для базисных переменных они равны 0, а для свободных переменных - C_j .

Следует иметь в виду основную теорему симплексного метода, которую приведём без доказательства.

Теорема 3: Если после выполнения очередной итерации:

1) Найдётся хотя бы один столбец с отрицательной оценкой замещения

< 0 и в каждом столбце с такой оценкой будет хотя бы один положительный элемент a_ij > 0, , то можно улучшить решение, выполнив следующую итерацию.

2) Если хотя бы в одном столбце с отрицательной оценкой замещения

< 0 не найдётся ни одного положительного элемента (то есть все a_ij < 0 ), то целевая функция F не ограничена в области допустимых решений (F_max).

3) Все оценки замещения окажутся неотрицательными, то есть >0 для всех j, то получено оптимальное решение.

Из формулы (11) легко видеть, что увеличить значение целевой функции возможно только при условии, что хотя бы одна оценка < 0 ( >0 всегда).

На основании всего сказанного приводим алгоритм пересчета симплекс-таблицы при переходе к следующему плану (следующей вершине).

1. Выбираем j–ый разрешающий столбец из условия: оценка <0 и хотя бы один элемент а_ij > 0 (если таких столбцов несколько, то тот, в котором ).

2. Выбирается i-я разрешающая строка из условия, что для этой строки:

= ( если таких строк несколько, то любую, причем строки с a_ij 0 не рассматриваются)

3) На пересечении разрешающей i-ой строки и разрешающего j-ого столбца стоит разрешающий элемент a_p = a_ij. С помощью этого элемента производим пересчет всей таблицы по трем пунктам

1. Все элементы разрешающего столбца зануляем, кроме разрешающего элемента, который полагаем равным a_p = 1.

2. Все элементы разрешающей строки делим на a_p.

3. Все остальные элементы (и оценки замещения тоже) пересчитываем по правилу прямоугольника x_нов = x_стар - где

x

Здесь x -элемент таблицы подлежащий пересчету, а а_p – разрешающий элемент.

Произведя пересчет таблицы, находим новый план, проверяем его на оптимальность и т.д.

Пример 6: Найти наибольшее значение целевой функции F=7x₁+5x₂ на множестве неотрицательных решений системы

2 х₁ + Зх₂ + х₃ = 19

2х₁ + х₂ + х₄ = 13

3x₂ +x₅ =15

3х₁ + х₆ = 18

Решение

Ранг матрицы системы уравнений:

равен 4. Ранг расширенной матрицы тоже равен 4.

Следовательно, система совместна и четыре базисные переменные можно выразить через две свободные переменные:

х₃ = 19 - 2x₁ - 3x₂

х₄ = 13 - 2х₁ - х₂

x₅ = 15 - Зх₂

х₆ = 18 -Зх₁

Кстати, целевая функция уже выражена через эти свободные переменные F = 7x₁ + 5x₂

Составим симплексную таблицу и проведем ее последовательные преобразования согласно приведенному выше алгоритму. Рекомендуется симплекс-таблицу записывать с начала страницы так, чтобы она по возможности вся помещалась на странице без переносов (см. Таблица 2).

Рассмотрим по очереди каждый последующий план.

План 1

Записываем в таблицу коэффициенты системы и заполняем индексную строку. Полагаем свободные переменные x₁ = x₂ = 0 и находим базисные переменные. В результате первый вектор-план X₁ = , F₁ = 0.

В индексной строке плана 1 две отрицательные оценки замещения - это

. Следовательно, план 1 не оптимальный. Выбираем max по модулю отрицательную оценку - это - следовательно, 1-й столбец разрешающий. Находим значения , записываем их в последний столбец и выбираем из них min. Это , - 4-я строка разрешающая. На пересечении разрешающих строки и столбца стоит разрешающий элемент а_р = а₄₁ = 3. Пересчитывая таблицу по трем пунктам a), b), c) алгоритма получаем:

План 2

Аналогично предыдущему находим X₂ = , F₂ = 42.

В индексной строке есть отрицательная оценка - следовательно

Таблица 2

План	Базисные перемен-ные	Свобод-ные члены	х1	x2	x3	x4	x5	x6
1	x3	19	2	3	1	0	0	0	19:2=9,5
	x4	13	2	1	0	1	0	0	13:2=6,5
	х5	15	0	3	0	0	1	0	15:0 =
	x6	18	3	0	0	0	0	1	18:3=6
	F =	0	-7	-5	0	0	0	0
2	x3	7	0	3	1	0	0	-2/3	7:3=2.33
	x4	1	0	1	0	1	0	-2/3	1:1=1
	x5	15	0	3	0	0	1	0	15:3=5
	x1	6	1	0	0	0	0	1/3	6:0=
	F =	42	0	-5	0	0	0	7/3
3	x3	4	0	0	1	-3	0	4/3	4:4/3=3
	x2	1	0	1	0	1	0	-2/3
	x5	12	0	0	0	-3	1	2	12:2=6
	x1	6	1	0	0	0	0	1/3	6:1/3=18
	F =	47	0	0	0	5	0	-1
4	x6	3	0	0	3/4	-9/4	0	1
	x2	3	0	1	1/2	-1/2	0	0
	x5	6	0	0	-3/2	3/2	1	0
	x1	5	1	0	-1/4	3/4	0	0
	F =	50	0	0	3/4	11/4	0	0

план 2 - не оптимальный. Очевидно 2-ой столбец разрешающий. Находим min значение , это = 1 - следовательно, 2-я строка разрешающая. На пересечении разрешающих строки и столбца находится разрешающий элемент а_р = а₂₂ = 1. Пересчитывая таблицу по пунктам a), b), c), получаем.

План 3

Аналогично предыдущему находим X₃ = , F₃ = 47. В индексной строке есть отрицательная оценка = -1 – следовательно, план 3 не оптимальный. Очевидно 6-ой столбец разрешающий. Находим min значение , это = 3 – следовательно, 1-я строка разрешающая. На пересечении разрешающих строки и столбца находится разрешающий элемент а_р = а₁₆ = 4/3. Пересчитывая таблицу по пунктам a), b), c), получаем.

План 4

Аналогично предыдущему находим X₄ = , F₄ = 50.

В индексной строке нет отрицательных оценок – следовательно, полученный план - оптимальный.

Ответ: Оптимальный вектор-план X_опт = , значение целевой функции на оптимальном плане F_опт = 50.