Понятие о симплекс-методе.

Решение основной задачи линейного программирования геометрическим методом достигает большой наглядности в случае 2-х и 3-х переменных. Для случая же большего числа переменных геометрический метод становится невозможным. Так называемый симплекс-метод принадлежит к числу аналитических методов решения основной задачи линейного программирования. При этом ограничения, используемые при реализации симплекс-метода, обычно задаются системой линейных уравнений

a ₁₁х₁+a₁₂х₂+...+a_1nx_n = b₁

a₂₁х₁+a₂₂х₂+...+a_2nx_n = b₂

. . . . . . . . . . . . (5)

a_m1х₁+a_m2х₂+...+a_mnx_n = b_m

среди неотрицательных решений которой ищутся такие, которые максими-зировали бы линейную (целевую) функцию

F=с₁х₁+с₂х₂+…+с_nх_n+с₀

Симплексный метод основан на теоремах:

Теорема 1. Если ЗЛП имеет оптимальное решение, то целевая функция принимает экстремальное значение в одной из угловых точек выпуклого многоугольника допустимых решений.

Теорема 2. Каждому опорному решению ЗЛП соответствует угловая точка многоугольника допустимых решений и наоборот.

Исходя из этих теорем, при реализации симплекс-метода осуществляется целенаправленный перебор всех вершин так, чтобы в каждой следующей вершине значение целевой функции было бы не меньше (не больше) чем в предыдущей вершине. При этом за конечное число шагов достигается искомое оптимальное решение, или устанавливается, что ЗЛП неразрешима.

Для осуществления указанного алгоритма выберем в системе (5) max набор линейно независимых переменных (тех, для которых определитель составленный из коэффициентов перед этими переменными отличен от 0). Пусть для определенности это будут переменные х₁, х₂,... х_r (r ≤ m). Выразим эти переменные через остальные переменные

х ₁ = а'_1,r+1 х_г+1 + ... + a'_1n х_n + b₁'

х₂ = а'_2,r+1 х_г+1 + ... + a'_2n х _n + b₂' (6)

. . . . . . . . . . . . . . . .

х_r = a'_{r, r+1} х_г+1 + ... + a' _{r n} x_n + b_r'

причем будем предполагать, что все b₁'0, b₂'0, b_r'0. Если исходные ограничительные условия заданы неравенствами, то их можно преобразовать к виду (5) путём введения новых неотрицательных переменных, так называемых балансовых (выравнивающих). Так, например, в неравенстве а₁х₁+а₂х₂+…+а_nх_n ≤ b достаточно добавить к левой части неравенства некоторую величину х_n+1  0 равную разности между правой и левой частями неравенства и мы получим равенство a₁x₁ + а₂х₂+…+а_nх_n + x_n+1 = b. Если ограничительные условия заданы смешанным образом, то есть неравенствами и уравнениями, тогда указанным путём их так же можно свести только к уравнениям.

В полученной системе (6) переменные (неизвестные) х₁,х₂ ... х_г называются базисными, а весь набор {х₁, х₂ ... х_г} - базисом, ос­тальные переменные называются свободными. Система ограничений (6) называется системой, приведённой к единичному базису. Подставляя в целевую функцию F вместо базисных переменных их выражения через свободные из системы (6) получим

F = C₀ + C_г+1 х_г+1 + … + C_nх_n

Теперь, полагая все свободные переменные равными нулю, найдём значения базисных переменных:

х₁=b₁' , х₂= b₂' , ... x_r=b_r'

Полученное таким образом допустимое решение системы (6)

(b₁' ,b₂' , ... b_r' , 0, ... 0) называется базисным. Для этого базисного решения значение целевой функции будет равно F_Б= C_0.

Решение задачи при помощи симплекс-метода распадается на ряд шагов, заключающихся в том, что от данного базиса Б мы переходим к другому базису Б' с таким расчётом, чтобы значение F_Б на новом базисе увеличивалось или, по крайней мере, не уменьшалось, то есть выполнялось F_Б' ≥ F_Б. При этом если все b₁'>0, b₂'>0,…., b_r'>0 , то данное решение называется опорным и соответствует какой-нибудь угловой точке области допустимых решений определяемой исходной системой ограничений. Тогда переход от одного базисного (опорного) решения к другому соответствует переходу от одной вершины многоугольника допустимых решений к другой вершине.