Построение последовательных итераций.

Правило работы по методу потенциалов сводится к следующему:

1) находим потенциалы U_k V_l всех поставщиков А_k и потребителей В_l.

2) выбираем какую-нибудь свободную переменную x_pq , для которой сумма потенциалов U_p + V_q строго больше соответствующей стоимости перевозки (тарифа), это соответствует элементу с отрицательным коэффициентом при этой свободной переменной x_pq в правой части выражения функции F.

3) для выбранной в пункте 2 переменной, находим цикл пересчета и производим сдвиг по этому циклу, этот сдвиг приводит к новому допустимому решению.

4) вышеуказанные операции 1-3 повторяются до тех пор, пока не придем к оптимальному базису, т.е. к неотрицательности коэффициентов при свободных переменных в правой части линейной функции F.

Получив исходное опорное решение, перейдем к построению новых опорных решений, улучшающих друг друга, применив метод потенциалов.

Итак, после построения опорного решения, все переменные разбиты на 2 группы:

х _kl - базисные переменные

х _pq - свободные переменные

Базисными называются переменные соответствующие занятым клеткам в распределительной таблице. Занятыми клетки становятся в результате занесения в них перевозок по методу северо-западного угла, или методу минимального элемента. Занятых клеток, а, следовательно, базисных переменных всегда должно быть ровно m+n – 1 (m-число строк, а n – число столбцов в таблице). Остальные переменные, соответствующие незанятым клеткам в таблице называются свободными. Используя уравнения (12) и (13) базисные переменные x_kl можно выразить через свободные x_pq и подставить из в целевую функцию (14). В результате получим выражение

F = _pq х _pq + ₀ (15)

Для нахождения коэффициентов _pq при свободных переменных сопоставим каждому пункту отправления А_i величину U_i i = 1,2,… m, которую назовем потенциалом пункта А_i , а каждому пункту назначения В_j поставим в соответствие потенциал V_j. Поскольку транспортная задача является задачей линейного программирования, то для нее, как и для любой задачи ЛП, можно составить двойственную ЗЛП. Введенные потенциалы являются двойственными переменными такой двойственной ЗЛП и для них так же как в задачах (14), (15) записывается система ограничений. При этом, согласно второй теореме двойственности, для занятых клеток (там, где переменные прямой ЗЛП отличны от нуля, т.е. x_kl > 0) должно выполняться:

U_k + V_l = c_kl , (16)

где c_kl - стоимость перевозки единицы груза из пункта А_k в пункт назначения В_l.

Доказывается, что совокупность уравнений (16) составленных для всех базисных переменных, образует совместную систему уравнений, причем, значение одной из переменных можно задавать произвольно (обычно задают U₁ = 0), и тогда значения остальных переменных находятся из системы однозначно. Обозначим для свободных переменных сумму соответствующих потенциалов через С^′ _pq , т.е. U_p + V_q = С _pq и назовем косвенной стоимостью (в отличие от данной стоимости, т.е.тарифа с_pq), тогда доказывается, что коэффициенты при свободных переменных в равенстве (15) имеют вид:

_pq = с_pq - С _pq (данная стоимость минус косвенная стоимость).

Если все величины _pq неотрицательны, то исходное решение будет оптимальным. Если среди _pq имеются отрицательные, то значение целевой функции (суммарную стоимость перевозок) можно уменьшить. Поэтому переходим к другому базису, путем увеличения слагаемого с отрицательным коэффициентом, оставляя другие переменные, равными 0.

Воспользуемся изложенными общими понятиями и продолжим решение примеров.