3. Основные понятия линейного программирования. Общая задача линейного программирования. Условия, допускающие применение методов линейного программирования в экономике.

Линейное программирование – область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения экстремальных задач линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений.

Экстремальные задачи – это задачи на отыскание крайних значений функции.

Своё название задачи получили  от латинского extremum что, означает «крайнее». Крайних значения два: наибольшее – max и наименьшее – min.

Эти оба понятия (max и min) объединяют единым термином extremum. Почти тот же смысл вкладывается в название “задачи оптимизации”, в последнем более отчетливо прослеживается связь с практическими применениями математики.

Слово ”оптимальный” происходит от латинского optimums, что значит – наилучший, самый совершенный.

Первые исследования по линейному программированию были проведены в 30-е годы в ленинградском университете Леонидом Витальевичем  Канторовичем. Термин линейное программирование появился в 1951 г. в работах американских учёных (Дж.Б. Данцига, Н.Т. Купманс). Слово «программирование» объясняется тем, что набор переменных, подлежащих нахождению, обычно определяет программу плана работы  некоторого экономического объекта, экономической производственной системы.

Дадим определение: Совокупность  математически сформулированных условий, налагаемых на неизвестные, называется системой ограничений данной задачи.

Совокупность численных значений неизвестных называется планом задачи. 

Любой план, удовлетворяющий системе ограничений, называют допустимым.

Допустимый план, максимизирующий или минимизирующий целевую функцию называется оптимальным планом.

Таким образом, решение задачи заключается в отыскании оптимального плана среди множества допустимых.

Задача линейного программирования может быть задана в одной из трёх форм – канонической, стандартной, общей. Каноническая форма задачи характеризуется следующими тремя признаками:

- однородная система ограничений в виде системы уравнений;

-         условия неотрицательности, распространяются на все переменные задачи;

-         максимизация целевой функции.

Запишем каноническую модель задачи линейного программирования.

                                            (6)

При условиях:

1.  (i=1,2…m)                                          (7)

2.х_j0                     (j=1,2…n)                                           (8)

 

Стандартная форма задачи характеризуется следующими признаками:

-         однородная система ограничений в виде системы неравенств типа ;

-         условия неотрицательности распространяются на все переменные задачи;

-         целевая функция max C или min С.

Запишем стандартную модель задачи линейного программирования.

 max или min                                          (9)

При условиях:

1.          (i=1,2…m);                                (10)

2. х_j 0                        (j=1,2…n).                                     (11)

 

Общая форма задачи линейного программирования характеризуется следующими признаками:

-         система ограничений неоднородна, может быть задана в виде уравнений и неравенств типа «» и «»;

 - условия неотрицательности наложены на все  или часть переменных;

-         целевая функция: max C или min C.

Запишем общую задачу линейного программирования.

 max или min                                       (12)

При условиях:

 1.     (i=1,2…m)                                  (13)

 

2. х_j 0                      (j =1…3, S  n)                               (14)

Обратите внимание, что все три формы записи сохраняют составные части модели задачи:

-         целевая функция;

-         система ограничений;

-        условия неотрицательности переменных.

Напомним ещё раз: всякое решение задачи, удовлетворяющее системе ограничений, и условию неотрицательности называется допустимым решением, а удовлетворяющее всем трём группам требований – оптимальным решением.

Каноническая, стандартная и общая формы задач линейного программирования эквивалентны и допускают математическое преобразование одной формы в другую.

Так, для содержания любой задачи очень важно решается она на максимум или  на минимум. Формально же минимизируемая целевая функция  легко сводится к максимизируемой умножением на (-1). Поэтому эквивалентность записи целевой функции, я думаю, сомнений ни у кого не вызывает.

Система ограничений общей задачи линейного программирования включает m линейно независимых уравнений.

При m=n система ограничений имеет единственное решение, которое должно считаться оптимальным решением (если соблюдается условие неотрицательности переменных).

Очевидно, что практический интерес представляют лишь задачи, в которых mn, то есть  неизвестных больше чем уравнений.

Именно в этом случае система может иметь бесконечное множество решений, и возникает необходимость в специальных методах  отыскания среди них решения наилучшего с точки зрения  принятого критерия эффективности. Разумеется, что возможны случаи, когда система ограничений несовместна, то есть не имеет решений вообще.

В экономических задачах чаще всего система ограничений первоначально  имеет форму неравенств.

В задачах линейного программирования дополнительные переменные имеют вполне определённый экономический смысл. Так, если в ограничениях отражается расход и наличие ресурсов, то дополнительные переменные  в оптимальном плане будут характеризовать объём неиспользованных ресурсов.

В математическом отношении условие неотрицательности переменных играет существенную роль, так как ограничивает область допустимых решений задачи лишь теми решениями,  которые не содержат отрицательных значений переменных величин.

Переменные, не охваченные условиями неотрицательности, иногда называют «произвольными».

Условия, допускающие применение метода линейного программирования

Из математических особенностей общей модели линейного программирования вытекает ряд требований, условий при которых может быть сформулирована и решена оптимизационная  задача.

1. В задаче должна быть чётко сформулирована цель. Постановка задачи преследует такую экономическую цель, которая может быть выражена линейной функцией, получающей в процессе решения max или min значения.

2.Все условия задачи должны поддаваться математической формулировке, то есть, выражены в форме системы линейных уравнений и неравенств.

3.Система линейных уравнений модели должна иметь множество допустимых решений. Или другими словами, условия экономической задачи должны допускать свободу выбора вариантов.

В математическом плане возможны четыре результата решения задачи линейного программирования:

1.    Условия задачи несовместны и задача вообще не имеет неотрицательных решений.

2.    Допустимые решения имеются, но extremum функция не достигает. (Стремится к бесконечности).

3.    Optimum целевой функции достигается при единственном сочетании значений  переменных.

4.    Optimum целевой функции  достигается при многих вариантах программы (случай множества оптимальных планов).

При правильной постановке  экономической задачи первый и второй результаты исключаются. Следует иметь в виду, что наложение слишком жестких ограничений  может привести к противоречивости  всей системы.