3. Колові процеси та реальні гази

3.1. Основні теоретичні відомості

1. Коефіцієнт корисної дії (ККД) циклу

де - кількість теплоти, яку отримує газ від нагрівача;

- кількість теплоти, яка передається холодильнику.

ККД циклу Карно

де Т₁ - температура нагрівача; Т₂ - температура холодильника.

2. Рівняння Ван-дер-Ваальса для одного моля газу

де р - тиск на стінки посудини;

а і b - сталі Ван-дер-Ваальса;

V_m- молярний об'єм газу.

Рівняння Ван-дер-Ваальса для будь-якої маси газу має вигляд

де V— об'єм усього газу; М - молярна маса газу.

В цьому рівнянні - тиск, обумовлений силами

взаємодії молекул; - власний об'єм молекул.

3. Зв'язок критичних параметрів - об'єму, тиску і температури зі сталими а і b Ван-дер-Ваальса:

Ці рівняння можна розв'язати відносно сталих а і b:

4. Внутрішня енергія реального газу

де С_V - молярна теплоємність при сталому об'ємі;

V_m - молярний об'єм.

5. Зміна ентропії

де А і В - межі інтегрування.

3.2. Приклади розв'язання задач

Задача 3.1. Під час циклу Карно газ, набравши від нагрівача 10³ Дж тепла, виконав роботу 400 Дж. Знайти температуру нагрівача, якщо температура холодильника 0 °С.

Рішення. ККД ідеальної теплової машини

або

де - корисне тепло, що перетворюється в роботу А.

Числове значення ККД теплової машини

або 40%.

Знаючи ККД теплової машини і температуру холодильника Т₂, можна знайти температуру нагрівача

Відповідь:

Задача 3.2. Визначити зміну ентропії при ізотермічному розширенні кисню масою 10 г від об'єму 25 л до об'єму 100 л.

Рішення. Зміну ентропії кисню при ізотермічному процесі можна обчислити за формулою

винесемо температуру за знак інтегралу, отримаємо

Кількість теплоти , яку отримує кисень, знайдемо за першим законом термодинаміки:

Для ізотермічного процесу = 0, тобто = А, а робота А для цього процесу визначається за формулою

де М= 1810 ³ кг/моль - молярна маса кисню.

З урахуванням цієї формули, визначимо зміну ентропії

.

Підставляючи в останню формулу числові значення величин, взятих в одиницях системи СІ, маємо

Відповідь: = 6,4 Дж/К.

Задача 3.3. Знайти зміну ентропії при охолодженні 2 г повітря від 40 до 0 °С: 1). при сталому об'ємі; 2). при сталому тиску.

Рішення. Зміну ентропії повітря наближено можна обчислити за формулою, що виражає зміну ентропії ідеального газу

при нескінченно малій зміні температури dT.

При нагріванні подається кількість теплоти

dQ=mcdT,

де т - маса повітря; с - його питома теплоємність.

Враховуючи, що V= const, VdP = RdT, звідки

а також із рівняння стану ідеального газу знаходимо . підставивши ці значення у рівняння для dQ, знаходимо

Аналогічно знаходимо значення dQ для сталого тиску

У першому випадку сталим лишається об'єм, тому

Відношення Р₂/Р₁ знаходимо за рівнянням ізохоричного процесу

тоді

У другому випадку сталим лишається тиск, тому

Відношення V₂/V₁ знаходимо за рівнянням ізобаричного процесу

тоді

Відповідь: 1) ; 2)

Задача 3.4. Обчислити, користуючись рівнянням Ван-дер-Ваальса, тиск 1,1 кг вуглекислого газу, що знаходиться в балоні місткістю 20 л при температурі 13 °С. Результат порівняти з тиском ідеального газу за тих самих умов.

Рішення. Рівняння Ван-дер-Ваальса має вигляд

звідки

де а=0,364 м⁴Н/моль²; b=4,310^-5 м3/моль.

Число молів вуглекислого газу дорівнює

Об'єм, що його займає один моль вуглекислого газу, дорівнює

Підставивши у формулу тиску числові значення величин, взятих в одиницях системи СІ, знаходимо

Тиск, що обчислюється за рівнянням Менделєєва-Клапейрона, дорівнює

Останній результат відрізняється від результату, одержаного при врахуванні поправок а та b на величину = 4,3 • 10⁵ Н/м ², що дає відносну похибку

або 16,9 %.

Відповідь: .

Задача 3.5. Визначити критичні параметри азоту.

Рішення. Критичні параметри газу відповідають такому його стану, при якому зникає різниця між рідиною та її парою. Параметри цього стану можна обчислити за сталими для даного газу а та b, які беруться з таблиць.

Критичний об'єм

V_кр= 3b = 33,8610 ^-5 м³/моль =11,5810^-5 м³/моль.

Критичний тиск

Критична температура

Відповідь: V_кр=11,5810^-5 м^3/моль; р_кр = 33,810⁵ Па; Т_кр =126 К.