1.2. Принцип измерения сопротивления методом моста Уитстона

Метод моста Уитстона – один из наиболее точных методов определения электрического сопротивления.

Сопротивления образуют его плечи (рис. 4.3). Между точками А и В моста включена батарея с ЭДС и сопротивлением , между точками C и D включен гальванометр с сопротивлением . Для узлов A, С и D, применяя первое правило Кирхгофа, получим

(4.3)

Для контуров ACBεA, ACDA и CBDC, согласно второму правилу Кирхгофа, можно записать:

(4.4)

Если известны все сопротивления и ЭДС, то, решая полученные шесть уравнений, можно найти неизвестные токи. Изменяя известные сопротивления и , можно добиться того, чтобы ток через гальванометр был равен нулю Тогда из системы (4.3) следует равенство для сил токов

, . (4.5)

Из системы (4.4) с учетом (4.5) получаем

, .

Откуда

или . (4.6)

Таким образом, в случае равновесного моста при определении искомого сопротивления ЭДС батареи, сопротивления батареи и гальванометра роли не играют.

Н а практике обычно используется реохордный мост Уитстона (рис. 4.4), где сопротивления и представляют собой длинную однородную проволоку (реохорд) с большим удельным сопротивлением, так что отношение можно заменить отношением . Тогда, выражение (4.6) можно записать

. (4.7)

Длины и легко измеряются по шкале, а сопротивления эталона всегда известно. Поэтому уравнение (4.7) позволяет определить неизвестное сопротивление .

Так как электрическое сопротивление реохорда сравнительно небольшое, то мост Уитстона описанного типа применяется для измерения сопротивлений порядка 10³ Ом.

Определим положение ползунка реохорда, соответствующее минимальной погрешности измерения сопротивления.

Относительная погрешность измерения сопротивления мостом Уитстона, которую легко получить из формулы (4.7), равна:

. (4.8)

Так как абсолютная погрешность измерения длин плеча реохорда равна: , то

, (4.9)

где l = l₁ + l₂ – длина провода реохорда.

Относительная погрешность будет минимальна тогда, когда знаменатель второго члена правой части формулы (4.9) максимален.

Найдем условие максимума функции:

Отсюда:

, .

Таким образом, погрешность будет минимальной, когда при равновесии моста Уитстона движок реохорда находится в среднем положении, т.е. l₁ = l₂.

В этом случае формула (4.7) принимает вид: R_Х = R_Э.

2. Практическая часть Задание 1. Определение электрического сопротивления первого резистора

1. Собрать схему экспериментальной цепи по рис. 4.3 или 4.4, используя в качестве исследуемого сопротивления первый резистор с неизвестным сопротивлением.

2. Начертить в тетради таблицу 4.1 для занесения в нее результатов измерения и расчетов.

3. Переместить ползунок реохорда в крайнее левое положение. Включить источник тока и подать напряжение в измерительную цепь, чтобы стрелка миллиамперметра отклонилось от нулевого значения примерно на половину шкалы.

Таблица 4.1

Определение электрического сопротивления резистора

№	Сопротивление эталона Rэ, Ом	Длина левого плеча l1, см	Длина правого плеча l2, см	Сопротивление резистора Rx, Ом	Абсолютная погрешность сопротивления ΔRx, Ом	Относительная погрешность сопротивления δRx, %
1
2
3
4
5
Среднее значение

4. Переместить ползунок реохорда в положение, при котором стрелка миллиамперметра снова вернется в нулевое значение (т.е. ток через миллиамперметр протекать не будет, что соответствует равновесному состоянию моста).

5. Определить длину левого и правого плеча реохорда по измерительной линейке на его корпусе. Причем производится измерение только длины левого плеча, длина правого плеча определяется по формуле , где – длина катушки реохорда. Значения длин плеч записать в таблицу 4.1.

6. Вычислить сопротивление резистора по формуле (4.7) и полученное значение записать в таблицу.

7. Заменяя эталонные (известные) сопротивления и повторив пункты 3-6, провести дополнительные измерения сопротивления первого резистора, помещая результаты измерений и вычислений в таблицу.

8. Вычислить среднее значение сопротивления резистора по формуле .

9. Вычислить абсолютную и относительную погрешности сопротивления резистора по формулам и для каждого измерения.

10. Вычислить среднюю абсолютную и относительную погрешности сопротивления резистора по формулам и , где t_kn – коэффициент Стьюдента, зависящий от заданной вероятности k и числа измерении n. Для k = 0,95, принятой в студенческом практикуме, коэффициент Стьюдента для различного числа измерения n указан в таблице ниже.

Количество измерений, n	3	4	5	6	7	8	9	10
Коэффициент Стьюдента, tkn	4,30	3,18	2,78	2,57	2,45	2,36	2,31	2,32

11. Записать окончательное значение сопротивления первого резистора в виде .