Коэффициент вариации

V_σ = σ / x * 100

V_σ = 226,1 / 970 * 100 = 23,31

Для определения моды воспользуемся данными таблицы 1.3.

f₂ – f₁

Mо = x₀ + k

(f₂ – f₁) + (f₂ – f₃)

где

f₂ – наибольшая (модальная) частота интервала;

f₁ – частота интервала, стоящая перед модальным;

f₃ – частота интервала, последующего за модальным;

x₀ – начальное значение модального интервала;

k – размер модального интервала.

Mо = 670 + 240

8 - 1

7

(8 - 1) + (8 - 7)

= 670 + 240

8

= 670 + 240 * 0,875 = 880

Данными той же таблицы воспользуемся для определения медианы

Mе = x₀ + k

N_me – S_m-1

f_m

N_me =

n + 1

2

где

f_m – частота медианного интервала;

S_m-1 – сумма накопленных частот до интервала;

x_o – начальное значение медианного интервала;

k – размер медианного интервала;

n – сумма всех частот ряда.

N_me = (20 + 1) / 2 = 21 / 2 = 10,5

Медианным является интервал 910-1150 млн.руб., т.к. в этом интервале находятся 10 и 11. Начальное значение медианного интервала 910, его частота – 7, сумма накоплений до него – 9.

Ме = 910 + 240 * (10,5 – 9) / 7 = 910 + 240 * 0,214 = 910 + 51,36 = 961,36

4. Среднюю ошибку выборки определим по формуле:

_x = 

σ²

n

(1 –

N

)

n

σ² = 51120

n = 20

n/N = 0,05 (из условия что выборка 5%)

_x = 

51120

20

(1 – 0,05) = 2556 * 0,95 = 2428,2 = 49,277

Определим предельную ошибку выборки

Δ_х = t_x

для P=0,954 t=2

Δ_х = 2 * 49,277 = 98,554

Определим границы генеральной средней

_ _ _

x – Δ_х ≤ х ≥ x + Δ_х

_

970 – 98,554 ≤ х ≥ 970 + 98,554

_

871,446 ≤ х ≥ 1068,554

Количество предприятий в последней группе равняется 1. Соответственно доля этого предприятия в общем количестве предприятий равна

W = 1 / 20 = 0,05

Среднюю ошибку выборки для доли определим по формуле

w(1-w)

n

_w = 

n

(1 –

N

)

_w = 

0,05(1-0,05)

(1–0,05) = 0,05(0,95)/20 * 0,95 = 0,002256 = 0,0475

20

Определим предельную ошибку выборки

Δ_w = t_w

для P=0,997 t=3

Δ_w = 3 * 0,0475 = 0,1425

Определим границы генеральной средней

w – Δ_w ≤ р≥ w + Δ_w

0,05 – 0,1425 ≤ р ≥ 0,05 + 0,1425

р ≥ 0,925

Задача 2. Имеется информация о среднедушевых доходах на душу населения по РФ за 2010 год, руб.

Год	Среднедушевой доход на душу населения, руб/чел.
2006	9928
2007	11825
2008	14016
2009	16134
2010	17296
Итого:	69199

Для анализа динамики изучаемого показателя определите:

1) а) в соответствии с классификацией – вид ряда динамики;

б) средний уровень ряда;

в) цепные и базисные показатели по среднедушевому доходу: абсолютные приросты, темпы (коэффициенты) роста и прироста;

г) абсолютное значение 1% прироста.

2) Средние показатели абсолютного прироста, темпов (коэффициентов) роста и прироста.

Результаты вычислений представьте в табличной форме (макет таблицы):

Макет таблицы

Аналитические показатели среднедушевых доходов населения РФ

Год	Среднедушевые доходы	Абсолютный прирост, руб/чел.		Темп роста, %		Темп прироста, %		Абсолютное значение 1% прироста, руб./чел.
	руб./чел.	цепной	базисный	цепной	базисный	цепной	базисный
А	1	2	3	4	5	6	7	9

Сделайте анализ полученных результатов.

3) а) определить линейную форму тренда среднедушевых доходов населения;

б) построить график динамики среднедушевых доходов населения за изучаемый период по фактическим и теоретическим данным;

в) спрогнозировать среднедушевые доходы населения на 2013 год, используя методы:

1) среднего абсолютного прироста;

2) среднего тема роста;

3) аналитического выравнивания.

Сделайте анализ полученных результатов

1) Вид ряда динамики интервальный, т.к. мы рассматриваем среднедушевой доход за определенный период времени.

Средний уровень ряда найдем по формуле

у = у / n

у = 69199 / 5 = 13839,8

Для определения абсолютного прироста, темпов роста и прироста, абсолютного значения % прироста используем следующие формулы

- абсолютный прирост цепной

Δц = у_i – y_i-1

где

у_i – любой уровень ряда, начиная со второго;

y_i-1 – уровень, непосредственно предшествующий данному

- абсолютный прирост базисный

Δб= y_i – y₀

где

y₀ – уровень первого члена динамического ряда

- темп роста цепной

Трц = у_i / y_i-1 * 100

- темп роста базисный

Трб = y_i / y₀ * 100

- темпы прироста

Тпр = Тр – 100

- абсолютное значение 1% прироста

А = 0,01 y_i-1

Результаты представим в таблице

Таб. 2.1.

Год	Среднедушевой доход на душу населения, руб/чел.	Абсолютный прирост, руб./чел.			Темп роста, %		Темп прироста, %			Абсолютное значение 1% прироста, руб./чел.
		цепной	базисный	цепной		базисный	цепной	базисный
2006	9928	-	-	-		-	-	-	-
2007	11825	1897	1897	119,108		119,108	19,108	19,08	99,28
2008	14016	2191	4088	118,529		141,175	18,529	41,175	118,25
2009	16134	2118	6206	115,111		162,51	15,111	62,51	140,16
2010	17296	1162	7368	107,202		174,214	7,202	74,214	161,34
	69199	7368	19559	459,95		597,007	59,95	197,007

2) Средние показатели

_

Δц = Δц / n = 7368 / 5 = 1473,6

_

Δб = Δб / n = 19559 / 5 = 3911,8

_

Трц = Трц / n = 459,95 / 5 = 91,99

_

Трб = Трб / n = 597,007 / 5 = 119,401

_

Тпрц = Тпрц / n = 59,95 / 5 = 11,99

_

Тпрб = Тпрб / n = 97,007 / 5 = 39,401

3) Для определения линейной модели тренда среднедушевых доходов применим аналитическое выравнивание.

Для решения составим таблицу.

Таб.2.2.

Год	Среднедушевые доходы, руб./чел. yi	Условная величина t	t2	yt	ŷt
2006	9928	-2	4	-19856	10030,8
2007	11825	-1	1	-11825	11935,3
2008	14016	0	0	0	13839,8
2009	16134	1	1	16134	15744,3
2010	17296	2	4	34592	17648,8
	69199		10	19045	69199

ŷ_t = a₀ + a₁t

где

ŷ_t – уровни ряда, выравненные по фактору времени;

t – период времени;

a₀ и a₁ – параметры прямой.

y

a₀ =

n

ty

a₁ =

t²

При нечетном числе уровней ряда динамики (у нас их пять) период времени в середине ряда (2008 год) приравниваем к 0, периоды вверх от него (2007 и 2006 г.г.) обозначаем -1 и -2, а вниз (2009 и 2010 г.г.) +1 и +2.

Рис. 2.1. Эмпирические и выравненные значения среднедушевого дохода

Спрогнозируем среднедушевой доход на 203 год методом аналитического выранивания.

ŷ_t = a₀ + a₁t

ŷ_t = 13839,8 + 1904,5 * t

t = 2 + 3 = 5 (2 – это условная величина 2010 года, 3 – кол-во лет до 2013 года)

ŷ_t = 13839,8 + 1904,5 * 5 = 13839,8 + 95225, = 23362,3

Задача 3. В 2009 г. Среднегодовая численность населения города составляла 1018,3 тыс. чел, в 2010 г. – 1025, 8 тыс. чел, в 2011 г. – 1030, 6 тыс. чел.

1. Определить в % базисные относительные величины динамики (с точностью до 0,1 %):

а) 102,8 и 101,2; в) 100,7 и 101,2 с) 101,8 и 102,3.

2) Определить в % цепные относительные величины динамики (с точностью до 0,1 %):

а) 105,3 и 101, 8; в) 100,7 и 100,5; с) 100,7 и 102,4.

1) Темпы роста базисные определим по следующей формуле

Трб = y_i / y₀ * 100

где

у_i – любой уровень ряда, начиная со второго;

y₀ – уровень первого члена динамического ряда

Трб = 1025,8 / 1018,3 * 100 = 100,74

Трб = 1030,6 / 1018,3 * 100 = 101,21

Правильный ответ – в.

2) Темпы роста цепные определим по формуле

Трц = у_i / y_i-1 * 100

где

y_i-1 – уровень, непосредственно предшествующий данному

Трц = 1025,8 / 1018,3 * 100 = 100,74

Трц = 1030,6 / 1025,8 * 100 = 100,47

Правильный ответ – в.

Задача 4. Дисперсия признака равна (с точностью до 0,1) при условии: средняя величина признака – 22 тыс. руб., коэффициент вариации – 26%:

а) 44,5 с) 12,8

в) 32,7 d) 37,2

_

V_σ = σ / x * 100

_

σ = V_σ * x / 100

V_σ = 26%

_

х = 22, тыс.руб.

σ = 26 * 22 / 100 = 572 / 100 = 5,72

σ² = 5,72² = 32,7

Правильный ответ – в.

Задача 5. Цены на бензин в 4-м квартале текущего года по сравнению с 4-м кварталом предыдущего года возросли на 1 литр с 23 до 27 руб. Каков ежеквартальный темп прироста цен на бензин (в %):

а) 8,3 с) 2,9

в) 4,1 d) 10,4

Вычислим коэффициент темпа роста

27/23=1,174

Вычислим средний темп роста

⁴1,174 = 1,041 или 104,1%

Ежеквартальный темп прироста равен: 104,1-100=4,1

Правильный ответ – в.