1.2. Типовые задачи по определению критериев надежности невосстанавливаемых объектов и примеры решения

Задача 1

На испытании находилось подшипников качения. Число отказов подшипников фиксировалось через каждые 150 часов работы ( ч).

Вычислить критерии надежности и построить их зависимости от времени по данным табл. 1.

Таблица 1. Данные об отказах подшипников к задаче 1

, ч	Вариант
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0…150	46	47	48	49	54	53	52	51	50	49
150…300	36	37	38	39	44	43	42	41	40	39
300…450	28	29	30	31	36	35	34	33	32	31
450…600	20	21	22	23	29	28	27	26	25	24
600…750	15	12	17	18	24	23	22	21	20	19
750…900	11	12	14	15	21	20	19	18	17	16
900…1050	10	13	12	11	18	18	16	15	13	14
1050…1200	9	11	12	12	19	17	16	15	13	13
1200…1350	9	12	11	12	18	17	16	15	14	11
1350…1500	10	10	11	12	17	17	17	16	12	11
1500…1650	11	9	12	11	17	18	15	14	12	11
1650…1800	9	11	10	13	17	17	15	14	13	12
1800…1950	8	10	10	12	18	16	16	15	12	11
1950…2100	9	9	10	11	18	17	15	14	14	12
2100…2250	10	10	11	12	17	17	16	15	14	13
2250…2400	11	12	13	14	18	19	18	17	16	15
2400…2550	15	16	17	18	20	23	22	21	20	19
2550...2700	21	21	22	23	29	28	27	26	25	24
2700…2850	25	26	27	28	34	33	32	31	30	29
2850…3000	35	36	37	38	44	43	42	41	40	39

Решение

Подшипники относятся к невосстанавливаемым объектам, поэтому их критериями надежности будут , , и , которые определяются следующим образом:

– вероятность безотказной работы по выражению (1.2)

; ; ……………………………………….. ;

– частота отказов по формуле (1.5)

; ; ……………………… ;

– интенсивность отказов по выражению (1.7)

; ; ………………………………….. .

Результаты расчетов , и , вычисленные для всех интервалов времени , представить в табличной форме (табл. 2).

Таблица 2. Результаты расчетов , и

, ч		, 1/ч	, 1/ч
от 150
150…300
…………
2700…2850
2850…3000

По данным табл. 2 строятся зависимости , и от времени. При этом следует помнить, что значения приведены для концов интервалов времени , а значения и – для середины интервалов .

Среднее время безотказной работы определяется исходя из предположения, что на испытании находились только отказавшие подшипники. Поэтому по формуле (1.14) имеем:

; ; .

Полученное значение является заниженным, так как испытания были прекращены до того, как из строя вышли все 1000 подшипников, поставленных на испытание.

Задача 2

Одноступенчатый редуктор состоит из зубчатых колес, валов и подшипников. Среднее время безотказной работы элементов редуктора подчиняется экспоненциальному закону и составляет для: зубчатых колес ч; валов ч; подшипников ч.

Определить:

1. Интенсивность отказов каждого элемента и редуктора в целом.

2. Вероятность безотказной работы и вероятность отказа редуктора в течение заданного времени ч.

Решение

1. Интенсивность отказов объекта определяется по формуле (1.15), из которой следует, что

.

Интенсивность отказов каждого элемента редуктора:

– зубчатых колес

1/ч;

– валов

1/ч;

– подшипников

1/ч.

Интенсивность отказов редуктора

1/ч.

2. Вероятность безотказной работы редуктора определяется по формуле (1.15):

,

где – время, в течение которого определяется вероятность безотказной работы редуктора, ч.

.

Зная значение , по прил. 1 определяют .

Вероятность отказа редуктора определяется по выражению (1.4):

.

Исходные данные по вариантам к задаче 2 приведены в табл. 3.

Таблица 3. Исходные данные по вариантам к задаче 2

Вариант	, ч	, ч	, ч	, ч
0	11000	16000	14000	1000
1	9000	14000	16000	1500
2	12000	12000	10000	900

Окончание табл. 3

Вариант	, ч	, ч	, ч	, ч
3	8500	10500	11000	2000
4	10500	16000	8000	800
5	12500	13000	12000	2000
6	14000	18000	15000	1800
7	9500	11000	9000	1000
8	11500	10000	14500	450
9	15000	16500	18000	2500
10	8000	13000	11000	1500
11	16000	16000	14000	3000
12	9000	12500	10000	3500
13	12000	14000	16000	2800
14	16500	17000	20000	4500

Задача 3

На испытание поставлено тормозных накладок тормоза механизма подъема. За время ч отказало накладок, за интервал времени ч отказало накладок (рис. 3).

Определить:

1. Вероятность безотказной работы , и .

2. Частоту отказов и интенсивность отказов .

Решение

На рис. 3 представлен временной график результатов испытаний тормозных накладок.

Рис. 3. Временной график результатов испытаний

тормозных накладок

1. По формуле (1.2) определяется вероятность безотказной работы:

– для ч (начало интервала)

;

– для ч (конец интервала)

.

Среднее число исправно работающих накладок в интервале

.

Число отказавших накладок за время ч

,

тогда

.

2. Частота отказов рассчитывается по выражению (1.5)

1/ч.

По формуле (1.7) определяется интенсивность отказов

1/ч.

Интенсивность отказов можно также определить из соотношения (1.9)

.

Исходные данные по вариантам к задаче 3 приведены в табл. 4.

Таблица 4. Исходные данные по вариантам к задаче 3

Вариант		, ч		, ч
0	400	2000	120	100	50
1	1200	4500	450	200	150
2	600	2600	200	120	80

Окончание табл. 4

Вариант		, ч		, ч
3	2000	6000	600	220	200
4	800	3000	150	90	50
5	1500	5600	500	240	180
6	900	3500	300	150	100
7	2400	6400	780	300	250
8	1100	4900	350	280	120
9	2600	3200	800	340	280
10	5000	7000	1600	400	500
11	3600	4200	1000	320	300
12	4500	7500	860	400	310
13	2400	5100	700	340	210
14	3100	8000	940	300	330

Задача 4

Система состоит из четырех элементов , причем отказ любого из них ведет к отказу всей системы.

Известно, что первый элемент за время ч отказал раз, второй – за ч отказал раз, а третий и четвертый – за ч отказали раз.

Определить:

1. Среднее время безотказной работы системы в целом.

2. Вероятность безотказной работы системы за время ч, если справедлив экспоненциальный закон надежности для каждого из четырех элементов.

Решение

1. Среднее время безотказной работы системы в целом определяется из соотношений (1.15) и (1.21).

Интенсивность отказов для каждого элемента системы:

; 1/ч; 1/ч; 1/ч.

Интенсивность отказов для всей системы

1/ч.

Среднее время безотказной работы системы в целом

ч.

2. Вероятность безотказной работы системы за время ч.

.

По прил. 1 определяют .

Исходные данные по вариантам к задаче 4 приведены в табл. 5.

Таблица 5. Исходные данные по вариантам к задаче 4

Вариант	, ед.							, ч
1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	4					–	–	20
1	5						–	15
2	6							10
3	4					–	–	35
4	5						–	50
5	6							24
6	4					–	–	80
7	5						–	65
8	6							15
9	4					–	–	26

Окончание табл. 5

Вариант	, ед.							, ч
1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	5						–	40
11	6							30
12	4					–	–	72
13	5						–	46
14	6							55

Задача 5

Ресурс по износу шарнирного соединения подчиняется нормальному закону распределения с параметрами ч, ч.

Определить: интенсивность отказов и вероятность безотказной работы шарнирного соединения в течение времени ч и ч.

Решение

1. Интенсивность отказов шарнирного соединения при заданном нормальном законе распределения рассчитывается по соотношению (1.17):

,

где

–

величина, значение которой определяется по прил. 2.

.

2. Вероятность безотказной работы шарнирного соединения определяется через квантили по формуле (1.16):

, ,
где	–	определяется по прил. 3;
	–	время, в течение которого определяется вероятность безотказной работы. Для нашего примера ч и ч.

Для времени ч:

; .

Для времени ч:

; .

Исходные данные по вариантам к задаче 5 приведены в табл. 6.

Таблица 6. Исходные данные по вариантам к задаче 5

Вариант	, ч×104	, ч×104	, ч×104	, ч×104
1	2	3	4	5
0	4	1,0	6	1,5
1	6	1,2	7	2,0
2	8	1,4	8	2,5
3	10	1,6	9	3,0
4	12	1,7	10	3,5
5	14	1,8	11	4,0
6	16	2,0	12	4,5
7	3	2,2	13	5,0
8	5	2,4	14	5,5
9	7	2,6	15	6,0
10	9	2,7	16	6,5
11	11	2,8	17	7,0
12	13	3,0	18	7,5
13	15	3,2	19	8,0
14	17	3,4	20	8,5

2. Определение критериев надежности

восстанавливаемых объектов

2.1. Теоретические положения

о надежности восстанавливаемых объектов

К восстанавливаемым объектам относятся такие объекты, работоспособность которых в случае возникновения отказа может быть восстановлена. Работу таких объектов можно представить в виде случайно чередующихся и независимых между собой временных интервалов, соответствующих работоспособному состоянию объекта и пребыванию этого объекта в процессе восстановления работоспособности (в ремонте).

Учитывая случайный характер и независимость указанных временных интервалов, определяются показатели:

– надежности для интервалов работоспособности;

– восстанавливаемости для интервалов ремонта;

– комплексные показатели надежности, к которым относятся коэффициент готовности и коэффициент простоя .

Практически все типы грузоподъемных машин относятся к восстанавливаемым объектам.

В качестве критериев надежности для интервалов работоспособности объектов наиболее часто применяются параметр потока отказов и наработка на отказ .

Параметром потока отказов называется отношение числа отказавших изделий в единицу времени к числу испытываемых изделий при условии, что все вышедшие из строя изделия заменяются на исправные (новые или отремонтированные). Поэтому

,

(2.1)

где	–	число отказавших изделий в интервале времени от до ;
	–	число испытываемых изделий.

Формула (2.1) потока отказов напоминает формулу (1.7) интенсивности отказов невосстанавливаемых объектов . Однако параметр всегда меньше интенсивности , так как при определении учитывается число всех изделий, в том числе и уже отремонтированных, а для – число изделий, оставшихся в эксплуатации к началу .

Наработкой на отказ называется среднее значение времени между соседними отказами. Эта характеристика по статистическим данным об отказах определяется из соотношения

.

(2.2)

Достаточно полной характеристикой периода восстановления является вероятность восстановления (окончания ремонта), определяемая по формуле

,

(2.3)

где	–	число изделий, поставленных на восстановление;
	–	число отказов (изделий), оставшихся не восстановленными к моменту времени .

Вероятность не восстановления на заданном интервале

.

(2.4)

Плотность распределения времени восстановления и интенсивность восстановления соответственно описываются выражениями:

;	(2.5)
,	(2.6)

где	–	число изделий, ремонт которых закончен в интервале времени , начиная с момента времени ;
	–	число изделий, восстановленных к моменту времени .

Параметр потока отказов и наработка на отказ характеризуют надежность ремонтируемого изделия и не учитывают времени, потребного на его восстановление. Поэтому они не могут характеризовать готовность изделия к работе в нужное время. Для этих целей на практике широко пользуются комплексными показателями надежности, к которым относятся коэффициенты готовности и простоя .

Коэффициент готовности представляет собой отношение суммарного времени исправной работы к сумме времен исправной работы и восстановления изделия, взятых за один и тот же период эксплуатации

,

(2.7)

где

–

суммарное время, соответственно, исправной работы и простоя изделия.

Значения величин рассчитывается по формулам:

; ,

(2.8)

где	–	время работы изделия между -м и i-м соответственно отказом;
	–	время вынужденного простоя i-го отказа;
	–	число отказов (ремонтов) изделия.

Выражение (2.7) является статистическим определением коэффициента готовности. При анализе надежности восстанавливаемых объектов коэффициент готовности вычисляется так:

,

(2.9)

где

–

среднее время восстановления изделия.

Непосредственно по статистическим данным значение оценивается по выражениям:

или ,

(2.10)

где

–

время восстановления изделия между -м и i-м отказом.

Коэффициентом простоя называется отношение времени вынужденного простоя к сумме времени исправной работы и вынужденных простоев изделия, взятых за один и тот же период эксплуатации:

, или .

(2.11)

Коэффициент готовности и коэффициент простоя связаны между собой зависимостью

.

(2.12)