2.Схема Бернулли. Наивероятнейшее число появлений события в повторных независимых испытаниях.

Значение , при котором вероятность найбольшая, називается найболее вероятным значением количества появлений события А в серии n испытаний схемы Бернулли. Якщо число не є цілим, то існує одно найбільш ймовірне число = , де символ цілої частини числа. Якщо ж число є цілим , то існують два найбільш ймовірних числа: та .

Например, в примереі 5 число =3.6, т.е. =3 и как видно из решения вероятность наибольшая.

4. Формула повної ймовірності

Нехай є n припущень (гіпотез) Hk (k1,...,n) щодо умов проведення випробування, з яким пов’язана подія А. При цьому із тих чи інших міркувань відомі ймовірності P(Hk), P(A/Hk). Як можна прогнозувати спроможність появи події А? Теорема. Нехай події Hk (k1,...,n) складають повну систему. Тоді для будь-якої події A справедлива рівність (5)

Рис. 1.9

4.1. Теорема гіпотез (формули Байєса)

Ця теорема є наслідком формули повної ймовірності..

Теорема.  Нехай події Hk (k1,...,n) утворюють повну систему подій (P(Hk)>0). Тоді для будь-якої події A (P(A)>0), що настала у наслідку проведення випробувань, виконується співвідношення

(6)

Приклад 1. В магазине имеется продукция 3-х фирм, соответственно 20%,45% и 35%. Брак в продукции каждой фирмы составляет соответственно 6%,5%,2%. Какова вероятность того, что а) изделие, купленное в магазине – бракованное? б) купленное в магазине изделие оказалось бракованным. В какой фирме оно вероятнее всего изготовлено?

Решение. Обозначим события: - купленное изделие бракованное, и гипотезы

- изделие 1-й фирмы.

- изделие 2-й фирмы.

- изделие 3-й фирмы.

Поскольку послеопытная вероятность больше и , то вероятнее всего бракованное изделие – продукт 2-й фирмы.

Приклад 2 В трех коробках по 15 шляп, из которых соответственно 7.8,9 – черных. Какова вероятность того, что а) из наудачу выбранной коробки наугад вынута черная шляпа? б)Вынутая шляпа оказалась черной. Найти вероятности того, что она вынута из каждой коробки?

Решение. Обозначим события: - из наудачу выбранной коробки наугад вынута черная шляпа и гипотезы

- выбор 1-й коробки.

- выбор 2-й коробки.

- выбор 3-й коробки.

2. Випадкові величини

Означення 1. Випадковою величиною (ВВ) називається змінна величина, набуваємі значення якої залежать від наслідку експерименту. Інакше кажучи, випадковою величиною називається числова функція, яка визначена на просторі елементарних подій .

Для позначення випадкової величини найчастіше використовуються великі літери X, Y, Z латинського алфавіту, а для їх можливих значень – відповідні малі літери x, y, z.

Наведемо кілька прикладів випадкових величин: 1) кількість влучень у ціль при п‘яти пострілах; 2) кількість відмов приладу протягом заданого проміжку часу; 3) тривалість проміжку часу очікування трамвая або автобуса на зупинці; 4) результат вимірювання фізичної величини; 5) відстань від точки влучення в мішень до її центра .

Функція змінної , яка визначена за формулою

,

називається функцією розподілу ВВ . Властивості функції розподілу:

1) неспадна та неперервна зліва; 2) ; 3) ;

4) . (1)

Дискретні випадкові величини.

ВВ називається дискретною, якщо множину її значень можна перелічити: .

Набір невід'ємних чисел називають розподілом дискретної ВВ. При цьому виконується умова нормування: .

Приклад. Дискретна ВВ задана таблицею розподілу

	-4	-2	1	3	5
	0.15	0.18	0.17	0.27

Знайти: 1) ; 2) та побудувати її графік; 3) ; 4) ; 5) ;

6) .

Розв’язання. 1) Сталу знаходимо з умови нормування:

0.15+0.18+0.17++0.27+ =1 =0.23.2) Для точки значення обчислюється за формулою = 2) =

Рис. 6.1

3) = =(-4) 0.15+(-2) 0.18+1 0.17+3 0.27+5 0.23=–0.6–0.36+0.17++0.81+1.15=1.17.

4) = =16 0.15+4 0.18+1 0.17+9 0.27+25 0.23=2.4+0.72+0.17++2.43+5.75=11.47.

=11.47–1.17 =11.47-1.3689=10.1011

5) 3.1782.

6) . Використано наступну формулу. Якщо у проміжок попадають лише значення випадкової величини Х, то

.