1,Задачі класичної теорії ймовірностей

1.Розв’язання задач на теореми додавання та множення ймовірностей

Приклад 1. Троє стрільців влучують у ціль з ймовірностями, відповідно, 0.8, 0.7, 0.6. Кожний зро-бив по одному пострілу. Знайти ймовірність того, що у ціль влучено:а)0,1,2,3 рази; б) хоча б один раз.

Розв’язання. а) Позначимо події – у ціль влучено раз, 0,1,2,3. – -й стрілець влучив у ціль. Події є незалежними. За умовою =0.8, =0.7, =0.6.

За аксіомою йм-ті , тобто =0.2 , =0.3, =0.4.

а.)За означенням суми та добутку подій , = , = , = За теоремою додавання йм-тей та теоремою множення незалежних подій: =0.2 0.3 0.4=0.024.

=0.8 0.3 0.4+0.2 0.7 0.4+

+0.2 0.3 0.6=0.096+0.056+0.036=0.188.

+0.8 0.7 0.4+0.8 0.3 0.6+

+0.2 0.7 0.6=0.224+0.144+0.084=0.452.

=0.8 0.7 0.6=0.336.

б) Події , , , утворюють повну систему подій, тобто + + +

=1 (*). Останню тотожність можно використати для перевірки обчислень у п.а) Дійсно, 0.024+0.188+0.452+0.336=1

За означенням суми подій, подія А= + + -хоча б одне влучення у мішень. З формули (*) випливає формула ймовірності пряви хоча б однієї події (**) . Тобто , 1-0.024=0.976.

2.Гипергеометричний розподіл

Приклад 2. З n деталей, серед яких m мають дефект, беремо k деталей. Знайти ймовірність того, що серед них буде l дефектних деталей

Розв’язання. Нехай подія A означає, що взято l дефектних деталей. Оскільки порядок вибору деталей не має значення, то число способів N взяти k деталей із n дорівнює . Кількість способів M, якими можна взяти заданий набір деталей, дорівнює на підставі правила множення добутку кількості способів взяти l деталей із m ( ) на кількість способів взяти k-l стандартних деталей із n-m ( ): . Таким чином, на підставі формули одержуємо

(2), ле .

Приклад 3 У групі 18 студентів, серед яких 6 відмінників. Навмання обирають 4 студентів. Яка ймовірність того, що серед них: а)2 відмінника; б) хоча б один ?

Розв’язання. а)Тут =18, =6, =4, =2. Нехай подія - вибір 2 відмінників з 4. Оскільки

=6 17 2 15, то за формулою (2) .б)Подія - вибір хоча б одного відмінника, -ноль відмінників. = . .За формулою(**) =1– = 0.84

2. Яка кількість випробувань потрібна для появи події. хоча б один раз. Формула дає відповідь на таке важливе питання: скільки випробувань треба провести, щоб подія А настала хоча б один раз з ймовірністю не менш, ніж ?

Приклад 4. Стрілець влучує в ціль з ймовірністю 0.2. Скільки йому треба зробити пострілів, щоб влучити в ціль з ймовірністю не меншою =0.9?

Розв’язання

3.Схема Бернуллі

Розглядається послідовність (серія ) незалежних випробувань з двома випадковими наслідками A і , ймовірності яких р і 1-р не змінюются від випробування до випробування (випробування незалежні, якщо їх ймовірності не залежить одна від другого). Така послідовність незалежних випробувань називається схемою Бернуллі.

Теорема. Ймовірність pn(k) того, що у серії з n незалежних випробовувань схеми Бернуллі подія A настає точно k раз, задається рівністю

.

(4)

Ймовірність того, що подія А у серії з n незалежних випробовувань схеми Бернуллі настає не менш, ніж m раз обчислюється за формулою

(2) або (3)

Зокрема, ймовірність того, що подія А настає хоча би один раз, обчислюється за формулою (4)

Приклад 5. Студент здає 5 екзаменів Ймовірність вдалої здачі кохного . Яка ймовірність того, що а) студент здасть ровно 4 екзамена? б) не менш 3-х екзаменів? в) хоча б один?.

Розв’язання.а) , . б) , . За формулою (2) =0.3456+0.2592+0.07776=0.68256.

,

в) . . За формулою (4) 1-0.01024=0.98976

6. Точки та тире телеграфного коду спотворюються незалежно одне від іншого з ймовірністю 0.12. Знайти ймовірність події, яка полягає у тому, що в слові з 5 символів буде спотворено: а) 2 символи; б) не більше одного символу.

Розв’язання. Задача зводиться до схеми Бернуллі при n=5 і p=0.12.

а) k=2 і на підставі формули (1) маємо

·0.12²·0.88³= 0.0981;

б) k0 або k1 і тому ймовірність дорівнює

=р₅(0)+ р₅(1)= 0.88⁵+ 5·0.12·0.88⁴=0.5377+ 0.3598= 0.8875.