1.3.2. Формула повної ймовірності

Нехай є n припущень (гіпотез) Hk (k1,...,n) щодо умов проведення випробування, з яким пов’язана подія А. При цьому із тих чи інших міркувань відомі ймовірності P(Hk), P(A/Hk). Як можна прогнозувати спроможність появи події А? Теорема. Нехай події Hk (k1,...,n) складають повну систему. Тоді для будь-якої події A справедлива рівність (4)

Рис. 1.5

Доведення. Оскільки H₁ÈH₂È...ÈH_n, то подію A можна представити у вигляді суми попарно несумісних подій

A  A·H₁A·H₂...A·H_n

рис.1.5). Послідовно застосовуючи теореми додавання та множення ймовірностей (формулу 3 з аксіом ймовірності розділу 1.2 та формулу (2) розділу 1.3), одержимо:

.

Якщо P(А H_i)0, то відповідна складова у сумі повинна бути пропущена.

Приклад 1.Футбольна команда грає за схемою 1-4-2-4. Ймовірність забити пенальті для нападника 0.8, півзахисника 0.7, захисника 0.6, захисника 0.5. Знайти ймовірність того, шо навмання обраний ігрок забиває пенальті.

Розв’язання. Нехай подія А –навмання обраний ігрок забиває пенальті. Призначимо гіпотези:

– вибір нападника;

– вибір півзахисника,

– вибір захисника;

– вибір вратаря . . За формулою повної ймовірності, маємо

(4 0.8+2 0.7+4 0.6+1 0.5)= (3.2+1.4+2.4+0.5)= =0.68.

1.3.3. Теорема гіпотез (формули Бейєса)

Ця теорема є наслідком формули повної ймовірності..

Теорема.  Нехай події Hk (k1,...,n) утворюють повну систему подій (P(Hk)>0). Тоді для будь-якої події A (P(A)>0), що настала у наслідку проведення випробувань, виконується співвідношення

(5)

Доведення. Оскільки , то на підставі формули (5) одержимо

.

Події H_k прийнято називати гіпотезами, P(H_k) - апріорними (відомими до проведення випробування), а P(H_k/A) - апостеріорними (обчисленими після випробування) ймовірностями цих гіпотез. Формула (7) показує, як треба переоцінити ймовірності здійснення кожної гіпотези, якщо подія А настала.

Приклад 2. В умовах прикладу 1 навмання обраний ігрок забив пенальті. Знайти ймрвірність того,що це був нападник, півзахисник, зажисник, вратар.

Розв’язання. За формулою (5) . Так само одержимо

, ,

Приклад 3. Надійність приладів (ймовірність безвідмовної роботи протягом заданого проміжку часу) в залежності від якості одного з елементів дорівнює відповідно 0.95, 0.9, 0.8. Відомо, що 20% приладів випускають у першому варіанті, 30% – у другому і 50% – у третьому. Довільно вибраний прилад безвідмовно працював протягом заданого проміжку часу. Яка ймовірність, що він був виконаний в кожному з варіантів?

Розв’язання. Позначимо через A подію, яка полягає у безвідмовній роботі приладу. Нехай гіпотеза H_k (k1,2,3) означає, що прилад виконано у k-му варіанті. Тоді апріорні ймовірності гіпотез та умовні ймовірності A дорівнюють:

P(H₁)0.2, P(H₂)0.3, P(H₃)0.5,

P(A/H₁)0.95, P(A/H₂)0.9, P(A/H₃)0.8.

За формулами Бейєса знаходимо апостеріорні ймовірності гіпотез

Приклад 4. Двоє стрільців роблять по одному пострілу. Ймовірність попадання по мішені для першого стрільця – 0.7, а для другого – 0.8. У мішені знайдено одну пробоїну. Яка ймовірність того, що у мішень попав перший стрілець?

Розв’язання. Подія A означає наявність однієї пробоїни в мішені. Введемо гіпотези H₁ – обидва стрільці не попадають, H₂ – перший стрілець попадає, другий ні, H₃ – другий стрілець попадає, перший ні, H₄ – обидва стрільці попадають. Знайдемо апріорні ймовірності гіпотез:

P(H₁)0.3·0.20.06, P(H₂)0.7·0.20.14,

P(H₃)0.3·0.80.24, P(H₄)0.7·0.80.56.

Умовні ймовірності події A дорівнюють:

P(A/H₁)0, P(A/H₂)P(A/H₂)1, P(A/H₄)0.

Таким чином, апостеріорна ймовірність гіпотези H₂ така

.