1.1.2. Алгебра випадкових подій

Множина, на якій означені операції суми та добутку подій, в математиці називається алгеброю.У просторі  означимо поняття суми та добутку подій. Алгебра подій дає математичний опис можливих наслідків випробування.

Означення 1.Подія, яка полягає в тому, що наступає принаймні одна з подій А або B, називається обєднанням або сумою цих подій(рис.1.3,а, б,в). Таку подію будемо позначати АB або A+B .

а б в Рис. 1.3. г

Означення 2.Подія, яка полягає в тому, що наступають обидві події А та B, називається перерізом або добутком цих подій (рис.1.3, а,б,г). Таку подію будемо позначати А  B або A·B.

Із означення операцій  та  випливають такі співвідношення:

А + АА, А   АА, А + , А  А, А   (B + С)(А   B) +(А  С).

Операції + та пов‘язані одна з одною двома важливими формулами:

а) , б) . (1)

Означення 3. Події А та B називаються несумісними, якщо їх переріз є неможливою подією:

A B= . (2)

Зрозуміло, якщо події А та B є несумісними, то будуть несумісними також події А·C і B·C.

Означення 4.Попарно несумісні події А_i (i1,2,...,n) утворюють повну систему подій (розбиття ), якщо їх сума є вірогідною подією:

А₁+А₂+...+А_n А_i·А_k   (ik).

Події А та утворюють повну систему подій :

А + =  , А = .

Приклад 3. Проводяться два постріли по мішені. Позначимо через А_i (i1,2) подію, що полягає у попаданні по мішені при i-тому пострілі. Потрібно виразити через А_i події А та B, які відповідно означають, що в мішені буде: а) точно одна А пробоїна; б) хоча б одна пробоїна.

Розв’язання. а) А  (доданки суми є несумісними подіями); б) В А₁+А₂ (доданки суми є сумісними подіями) або В  (доданки суми є несумісними подіями, але не утворюють повної системи подій).

1.2. Аксіоми та властивості ймовірності

1.2.1. Частота та ймовірність випадкової події

Ймовірність події A – це число, яке характеризує об‘єктивну можливість (долю впевненості) появи цієї події в розглядуваному випробуванні. Тобто, ймовірність є кількісною мірою здійснення події.

Частотний ( стохастичний ) підхід до визначення ймовірності полягає в наступному. Нехай А – подія, пов’язана з деяким випробуванням. Якщо при n-кратному повторенні випробування подія А наступає n_A разів, то частотою появи події А у даній серії випробувань називається відношення n_A/n. Зрозуміло, що частоті притаманні таки властивості:

1) n_A/n ; 2) n_Ω /n =1 ; 3) якщо A B= , то n_A+B /n =n_A/n +n_B /n .

Частота випадковим чином змінюється від однієї серії випробувань до іншої. Однак, якщо довжини серій достатньо великі, то частоти в різних серіях мало відрізняються між собою ­ емпірична властивість стійкості частоти – і будуть незначно коливатися навколо деякого числа Р(А), яке і називається ймовірністю події А. Таким чином, поняття ймовірності тісно пов’язане з властивістю стійкості частоти. При зростанні n відхилення частоти n_A/n від ймовірності Р(А) зменшується для переважної більшості серій. Тому частота може бути використана для обчислення ймовірності.