1 Способ.

Объем цилиндра равен: ,

Отсюда .

Из полученной формулы вытекает, что в области р>0, d>0, h>0 функция – возрастающая по аргументу р и убывающая по аргументам d и h.

Имеем:

2,999 <d<3,001;

9,998 < h < 10,002;

95,499<р< 95,501;

3,14159< <3,1416.

Тогда для значения у получим:

(нижняя граница)

(верхняя граница)

Взяв среднее арифметическое, получим значение у, равное у = (1,351 ±0,002) г/см³.

Ответ: у = (1,351 ±0,002) г/см³.

2 Способ.

Используя средние значения аргументов, получим:

Логарифмируя формулу для вычисления объема цилиндра, имеем:

. Взяв полный дифференциал, получим:

.

Далее находим:

.

Таким образом, имеем:

у = (1,351 ± 0,001) г/см³,

что очень близко совпадает с точной оценкой, найденной по способу границ.

Ответ: у = (1,351 ±0,001) г/см³.

2. Найти предельные абсолютную и относительную погрешности вычисле­ния объема шара по выражению , если d= 3,7±0,05 см, а = 3,14.

Решение.

Рассматривая d и как переменные величины, вычисляем частные производные:

Используя формулу для вычисления погрешности функции, зависящей от двух переменных:

,

Находим предельную абсолютную погрешность объема:

.

Поэтому, .

Отсюда предельная относительная погрешность определения объема:

.

Ответ: , .

3. Для определения модуля Юнга Е по прогибу стержня прямоугольного сечения применяется формула , где l – длина стержня; а и b – измерения поперечного сечения стержня; s – стрела прогиба; р – нагрузка. Вычислить предельную относительную погрешность при определении модуля Юнга E, если р=20 кг; , а=3 мм; ; b=44 мм; ; l=50 см; ; s=2,5 см; .

Решение.

.

Отсюда, заменяя приращения дифференциалами, будем иметь:

. Следовательно,

.

Таким образом, относительная погрешность составит не более 0,081, т.е. примерно 8% от измеряемой величины.

Ответ: .

4. Вычислить значение величины z с помощью Mathcad при заданных значениях а, b и с с систематическим учетом абсолютных погрешностей после каждой операции, если цифры верны в строгом смысле.

, а:=12,34; b:=14,3

Решение.

Алгоритм решения представлен на рисунках, приведенных ниже:

7. Обратная задача теории погрешностей.

На практике очень часто необходимо уметь решать обратную задачу: каковы должны быть абсолютные погрешности аргументов функции, чтобы абсолютная погрешность функции не превышала заданной величины.

Пусть величина предельной абсолютной погрешности задана.

Тогда .

Предполагая, что все слагаемые равны между собой, будем иметь:

.

Отсюда .

В случае, когда предельная абсолютная погрешность всех аргументов одна и та же, то:

; .

1. Радиус основания цилиндра ; высота цилиндра . С какими абсолютными погрешностями нужно определить R и Н, чтобы объем цилиндра V можно было вычислить с точностью до 0,1 м ?

Решение.

Объем вычисляется по формуле и . Подставляя все исходные данные, приближенно получим:

; ; .

Отсюда, т. к. п = 3, то, воспользовавшись формулой для вычисления погреш­ности функции, зависящей от трех переменных:

,

Будем иметь:

; ;

Таблица Погрешности значений элементарных функций.