3.2 Методы нахождения частных решений лнду с
постоянными коэффициентами.
А) Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа.
Уравнение (3.1) всегда может быть проинтегрировано в квадратурах (функция f(x) на (a, b) – непрерывна) методом вариации произвольных постоянных, т.к. соответствующее однородное уравнение (3.3) интегрируется в элементарных функциях.
Решение ЛНДУ ищется в той же форме, что и решение ЛОДУ, т.е.
Y(x)
= C1∙y1(x)
+
C2∙y2(x)
+ …..,
но
при этом 
, 
, … , 
считаются функциями аргумента х
, т.е. :
Y(x) = C1(x) ∙y1(x) + C2(x) ∙ y2(x) +…….. (3.7)
Подбираются функции Ci (x) таким образом, чтобы решение (3.7) обращало уравнение (3.1) в тождество.
В
результате, для нахождения 
,
получим линейную неоднородную
алгебраическую систему из n
уравнений с n
неизвестными функциями 
.
Запишем эту систему в развернутом виде:
… … … … … (3.8)
Решая
эту алгебраическую систему, например,
методом Крамера находим 
.
Функции
затем находятся интегрированием. В
предлагаемых вариантах индивидуальных
домашних заданий, одно из линейных
неоднородных дифференциальных уравнений
следует решить методом вариации
произвольных постоянных.
Пример:
Решаем ЛОДУ
Фундаментальная система решений:
Запишем общее решение ЛНДУ
Составим алгебраическую линейную неоднородную систему для нахождения функций C1′(x) и C2′(x)
Сложим уравнения, тогда
Подставим
в первое уравнение, тогда 
Следовательно,
Сделаем замену переменной, пусть
.
В результате получим
Аналогично
Запишем
общее решение заданного уравнения: 
,
где
– общее решение однородного уравнения,
а 
– частное решение неоднородного
уравнения.
Пример:
.
Решаем ЛОДУ
,
характеристическое уравнение: 
Фундаментальная система решений
Запишем общее решение ЛНДУ
Составим систему уравнений для нахождения функций C1′(x) и C2′(x):
Решаем систему методом Крамера. Определитель системы:
Определитель при С1′ :
Определитель при С2′ :
Следовательно,
Тогда
Общее решение заданного ЛНДУ:
Пример: решить дифференциальное уравнение
Решаем
ЛОДУ 
(корни действительные, кратные)
Фундаментальная
система решений: 
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения:
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения ищем в виде:
Составляем систему для нахождения функций C1′(x) и C2′(x):
Исключим
из системы, сложив первое уравнение со
вторым
Т.е.
Подставив
полученное выражение для 
в первое уравнение, найдем
:
Найдем
и
Запишем общее решение ЛНДУ
Б) Метод подбора частного решения.
Если
правая часть уравнения, функция 
,
имеет специальный вид, то частное решение
ЛНДУ может быть найдено методом подбора
с неопределёнными коэффициентами.
Правило
1.
Если 
,
где
-
многочлен степени m,
то частное решение может быть найдено
в виде:
,
где
-
многочлен степени m
неопределёнными коэффициентами; α
– является корнем соответствующего
характеристического уравнения; r
–
кратность корня 
.
Пример: 
1) При решении ЛНДУ сначала необходимо найти корни характеристического многочлена, т.е. решить ЛОДУ.
характеристическое
уравнение имеет вид:
,
;
2)
Общее решение ЛОДУ: 
3)
-
правая часть заданного уравнения
–
многочлен 2-ой степени; 
Тогда
,
где 
-
неопределённые
коэффициенты многочлена 2-ой степени.
Чтобы найти эти коэффициенты, надо
частное решение дважды продифференцировать
и подставить в исходное уравнение.
При
подстановке 
уравнение принимает вид (предварительно
правую и левую часть сократим на 
):
Теперь
для нахождения 
необходимо составить систему уравнений,
путём приравнивания коэффициентов при
одинаковой степени x
в
правой и левой частях уравнения.
При
:
,
т.е. 
;
при
: 
,
т.е.
,
т.е. 
,
т.е. 
при
: 
,
т.е.
,
т.е. 
;
Следовательно,
Тогда общее решение исходного дифференциального уравнения примет вид:
,
где 
,
а
Правило 2. Если правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
,
где
и 
- многочлены соответственно степеней
и 
,
то частное решение примет вид:
,
где
и 
– многочлены степени m
(наибольшей из степеней
и
)
с неопределёнными коэффициентами;
– корень
характеристического уравнения, r
–
кратность этого корня.
Пример:
решить уравнение 
1)
Решаем ЛОДУ 
,
характеристическое
уравнение имеет вид: 
; 
2) Общее решение ЛОДУ
3)
,
правую часть можно рассматривать так:
,
где
– многочлен первого порядка
Тогда
,
где
и 
- многочлены 1-ого порядка
0+i
=k1,2
,
кратность корней, 
и 
- единица, поэтому в частном решении
появляется множитель 
в первой степени.
Для
нахождения 
продифференцируем частное решение два
раза: 
Тогда 
Подставляем
и 
в исходное уравнение:
Приравниваем
коэффициенты при одинаковых степенях
в правой и левой частях равенства
отдельно для слагаемых с 
и 
.
Для
при
: 
при
: 
,
тогда 
=1;
без
: 
;
=
;
=
Для
при
: 
при
: 
;
,
т.е. 
без
: 
;
;
Тогда
Окончательно
Или 
Принцип наложения решений.
Если
правая часть уравнения 
,
то
для
каждого
слагаемого
находится своё частное решение 
.
Частное решение ЛНДУ находится как
сумма всех частных решений.
Пример: записать общее решение ЛНДУ, неопределённых коэффициентов не находить.
1) Решаем ЛОДУ:
,
характеристическое
уравнение
;
Фундаментальная система решений:
;
=
,
Общее решение ЛОДУ:
2)
Рассмотрим 
в
виде 2-х слагаемых
и
Тогда
по правилу 1 ищем частное решение для
;
По правилу 2 ищем частное решение для
, т.к.
,
т.е. 
;
- совпадение корня при кратности 
.
2) Общее решение ЛНДУ
