3.Линейные неоднородные дифференциальные
уравнения высших порядков с постоянными
коэффициентами.
Общий вид линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ) порядка n с постоянными коэффициентами имеет вид:
+
+…+
∙
+
y
= f(x)
(3.1)
если f(x)=0, линейное дифференциальное уравнение называется однородным (ЛОДУ).
Общее решение уравнения (3.1) определяется формулой:
Y(x)
= yo.o(x)
+ 
(x),
где
(3.2)
(x)
- общее
решение однородного уравнения (ЛОДУ);
(x) – некоторое частное решение неоднородного уравнения (ЛНДУ).
Соответственно, надо уметь находить общие решения ЛОДУ и рассмотреть
методы нахождения частных решений ЛНДУ.
В данном пособие мы будем рассматривать два основных метода нахождения частных решений ЛНДУ. Но вначале остановимся на нахождении общих решений ЛОДУ.
3.1 Линейные однородные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами.
Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид:
+
+…+
y
= 0 (3.3)
Все операции над функцией y(x) , указанные в левой части принято кратко обозначать линейным дифференциальным оператором L(y) , т.е.
L(y) = + + …+ y = 0
Фундаментальной системой решений ЛОДУ на интервале (a,b) называется всякая система из n линейно независимых на этом интервале решений уравнения.
Если
искать решение уравнения (3.3) в виде y
= 
, где
k
– некоторое
число, то т.к.
y′
= k
, y′′
= 
, … ,
= 
,
L(y(x))
=
( 
+ 
+ … +
) = 0
Многочлен + + … + – называется характеристическим
многочленом
дифференциального уравнения (3.3) . Т.к.
≠
0,
то,
следовательно, характеристический многочлен следует приравнять нулю
и найти все корни алгебраического уравнения степени n .
При нахождении корней характеристического многочлена могут быть
следующие случаи.
А)
Все корни характеристического многочлена
разные действительные числа, тогда
решения
= 
,
… , 
= 
составляют
фундаментальную систему решений и общее
решение уравнения (3.3) запишется в виде:
(x)
=C1∙
+ 
+ … (3.4)
Пример: 3y′′ – 2y′ – 8y = 0
Характеристическое
уравнение: 3
- 2k
– 8 = 0
Решаем квадратное уравнение:
= 
; 
= 
= 2; 
=
-4/3
Тогда
фундаментальная система решений примет
вид:
= 
; 
= 
Общее
решение ЛОДУ: yo.o=
+ 
Б) Корни характеристического уравнения действительные числа, но среди корней встречаются кратные.
Пусть одинаковых (кратных) корней характеристического уравнения
будет m . Тогда фундаментальная система решений примет вид:
=
,
= 
, 
= 
, … , 
= 
,…
… = .
Общее решение ЛОДУ:
= 
+ 
+ … + 
+ … +
=
=
(
+ 
x
+ … + 
) + … + 
.
(3.5)
Пример: y′′′′ + 2 y′′′ + y′′ = 0
Характеристическое
уравнение: 
+ 2 
+
= 0
(
+ 2k
+ 1 ) = 0 или 
= 0
Корни
уравнения:
= 0 ; 
= -1
( два
кратных корня )
Фундаментальная
система решений:
= 
= 1;
= 
= x
;
= 
; 
= 
Общее решение однородного уравнения:
(x)
=
∙ 1 +
∙ x
+ 
+ 
x
или
(x) = + x + (C3 + C4 x).
В) Пусть среди корней характеристического уравнения встречаются комплексные корни. Если комплексный корень k = α + ί β - простой,
не кратный, то фундаментальная система решений для такого корня примет вид:
= 
cos βx
;
=
sin
β x .
Если же корень комплексный и кратный (кратность m) , то фундаментальная система решений примет вид:
y1=
cos β x ,
= 
cos β x , … ,
= 
cos
βx
(3.6)
Пример: решить дифференциальное уравнение y′′ + 6y′ +13y = 0
Характеристическое уравнение: k²+ 6k +13 = 0
Дискриминант этого квадратного уравнения:
D
= 
- 4ac
= 36 – 52 = -16 < 0,
следовательно,
корни уравнения комплексные:
= 
= 
= -3 ± 2i
Тогда фундаментальная система решений примет вид:
= 
cos
2x;
=
sin
2x
Общее решение однородное уравнения:
(x)
= 
cos 2x + 
sin 2x =
(
cos
2x +
sin
2x).
Пример: решить линейное однородное дифференциальное уравнение.
характеристическое уравнение:
;
;
–
решаем биквадратное уравнение, пусть
,
тогда
или
,
т.е.
,
следовательно, 
(корни
кратные)
Запишем фундаментальную систему решений:
