2. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
Дифференциальным уравнением n-ого порядка называется соотношение,
,
связывающее независимую переменную x, искомую функцию y и ее производные до n-ого порядка включительно.
Одним из часто используемых методов, применяемых при интегрировании дифференциальных уравнений высшего порядка, является метод понижения порядка уравнения. Следует заметить, что понижение порядка возможно далеко не для всякого уравнения.
Рассмотрим несколько типов дифференциальных уравнения высшего порядка, допускающих понижение порядка.
А) Уравнение вида:
Общее решение получается путем n-кратного интегрирования.
Пример:
Решение:
Б)
Уравнения, не содержащие явно искомую
функцию 
и
ее производные до порядка
включительно,
т.е.
Данные
уравнения допускают понижения порядка
на k
единиц путем введения новой функции z,
равной низшей из производных, т.е. 
.
Пример:
Введем
новую функцию 
,
тогда 
.
В результате получаем вместо уравнения
второго порядка, дифференциальное
уравнения 1-ого порядка:
в данном случае получим линейное дифференциальное уравнение, которое можно решить методом вариации произвольной постоянной.
dz/z
= dx/x
Тогда
и
z
= C1∙x
б) Ищем решение линейного дифференциального уравнения в виде
,
т.е.
Подставим полученные выражения в линейное уравнение:
т.е.
тогда
Решением линейного дифференциального уравнения является функция
но 
тогда
y(x) = x³/3 +C1∙x²/2 +C2
В) Уравнения, не содержащие явно независимую переменную x, т.е. уравнения вида:
Такие
уравнения допускают понижение порядка
на одну единицу, если вместо x
за новую переменную берется y,
а за новую искомую функцию 
.
При
этом, считая 
–
сложной функцией
(при дифференцировании применили формулу дифференцирования произведения 2-х функций).
Пример:
Сделаем вышеуказанные замены
При
т.е. 
Рассмотрим уравнение: y∙(dp/dy)-p-4y=0
Поделим
все слагаемые уравнения на 
.
Получим
Данное
уравнение можно рассматривать как
линейное дифференциальное уравнение
1-ого порядка. Решаем его методом вариации
произвольной постоянной.
б)
Ищем
решение линейного дифференциального
уравнения 1-ого порядка в виде:
и, подставляя в линейное уравнение,
получим:
тогда
Сделаем
замену, приняв 
,
К
данному решению следует добавить решение
и
.
Примечание: если дифференциальное
уравнение не содержит не только
независимую переменную x,
но и 
первых
производных т.е.
то
порядок уравнения можно понизить на
единицу. Сначала следует использовать
подстановку 
а
затем
.
Г) Уравнение
однородное
относительно функции и ее производных,
т.е. такое уравнение, что
Подстановкой
порядок уравнения понижается на единицу
Пример:
пусть
,
тогда
после
подстановки уравнение примет вид:
Сокращая
на 
,
может быть потеряно решение
,
т.е.
Получили линейное дифференциальное уравнение 1-ого порядка. Решаем его методом вариации произвольной постоянной.
а)
т.е.
следовательно,
б) Ищем решение линейного дифференциального уравнения 1-ого порядка в виде:
После
подстановки в линейное дифференциальное
уравнение получаем
следовательно,
дифференциальное уравнение 1-ого порядка с разделяющимися переменными.
тогда, после объединения логарифмов, получим:
Данное решение содержит и потерянное решение . В отдельных случаях получить решение в явном виде затруднительно, но удается получить решение в параметрической форме.
Д)
Уравнения вида
В
таких уравнениях левая часть может быть
представлена как полная производная
по x,
от некоторой функции 
.
Порядок уравнения возможно понизить на единицу.
Пример:
Можем рассматривать левую часть уравнения как полную производную по переменной x от функции
а правую часть уравнения можем рассматривать как производную от функции
Следовательно,
уравнение можно переписать так:
т.е.
порядок уравнения понижается на единицу
и
В результате необходимо решить уравнение 1-ого порядка с разделяющимися переменными, и окончательно, получим ответ:
y²/2 = x³/6 + C1∙x + C2 .