1.5 Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
Дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в дифференциальной форме
(1.7)
называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, если левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции U(x,y). Выполнение условия
(1.8)
означает,
что левая часть уравнения есть полный
дифференциал некоторой функции U(x,y),
т.е.
d
=(∂U/∂x)dx+(∂U/∂y)dy,
где
,
.
Соотношение (1.8) следует из свойства
независимости смешанных производных
от порядка дифференцирования. Уравнение
(1.7) в случае выполнения условия (1.8) может
быть записано в виде:
dU(x,y) = 0 и общее решение уравнения (1.7) можно записать следующим образом U(x,y) = const. Функция U(x,y) может быть найдена в результате следующих действий.
а)
Равенство
следует проинтегрировать по переменной
(при фиксированном значении 
).
Тогда
(1.9)
б)
Для нахождения 
полученное равенство (1.9) дифференцируют
по
(при фиксированном значении x)
и приравнивают функции 
.
(1.10)
Таким образом, решая уравнение с разделяющимися переменными, находят функцию .
в)
Последним этапом решения является
проверка полученной функции 
:
Примеры: проверить, что данные уравнения являются уравнениями в полных дифференциалах и решить их.
1)
Проверим
условие (1.8): 
, 
.
Условие выполнено, следовательно,
вышеприведенное уравнение является
уравнением в полных дифференциалах.
а
) 
;
т.е.
б
) Продифференцируем полученную функцию
Следовательно,
или 
- уравнение с разделяющимися переменными.
Следовательно,
в
) Проверка: 
2) Рассмотрим уравнение: (10xy-8y+1)dx+(5x²-8x+3)dy=0
Проверим условие (1.8): ∂P/∂y=10x-8, ∂Q/∂x=10x-8, следовательно, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
а) ∂U/∂x=P(x,y)=10xy – 8y+1 , т.е.
U(x,y
б)Полученную функцию U(x,y) дифференцируем по у (при фиксированном х)
∂U/∂y =∂/∂y [(5yx²-8xy+x) +φ(y)]=5x²-8x+φ′=5x²-8x+3=Q(x,y)
Тогда φ′=3 и, соответственно,
Окончательно функция U(x,y) примет вид:
в) Проверим полученное решение:
∂U/∂x =10xy-8y+1=P(x,y) ∂U/∂y =5x²-8x+3=Q(x,y)
т.е. задача решена верно.
3) Решить уравнение:
Объединим слагаемые при дифференциалах dx и dy. Уравнение примет вид:
Проверим условие (1.8):
.
(При
дифференцировании использовали формулу
дифференцирования произведения 
а ) Интегрируем P(x,y) по переменной x:
U(x,
y)
= 
+ 
= 
+
y
=
+ y
∙ 
arctg
+ 
=
+ arctg
+
б) Дифференцируем равенство по y
и приравниваем функции Q(x,y):
Т.е.
,
тогда 
или 
,
следовательно, функция
в) Проверка:
4)
Рассмотрим уравнение: 
Проверим, является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах.
,
найдем частную производную
Q(x,y)
= 
= 
-
∙
,
тогда
= - 
+
∙
= -
+
- 
= -
Т.е.
,
следовательно, мы убедились, что заданное
уравнение является уравнением в полных
дифференциалах.
а)
Найдем функцию U(x,
y)
= 
+
(интегрировали
по переменной x,
считая y=const)
б)
Продифференцируем
по переменной y,
считая
Приравняем
полученную производную функции 
Следовательно,
, тогда 
Сделаем проверку:
Следовательно, вышеприведенное уравнение решено верно.
В достаточно большом числе примеров с успехом используется метод выделения полных дифференциалов.
Например: d(x∙y) = y dx + x dy; d(y²) = 2y dy;
d(x/y) = (y dx – x dy)/ y²; d(ln y) = dy/y и т.д.
5) Пример: (x² + y) dx – x dy = 0
Выделим сначала группу слагаемых, представляющую собой полный дифференциал:
y dx – x dy = -x²d(y/x) , поделим все слагаемые на -x², тогда
d(y/x) – dx =0 - уравнение в полных дифференциалах. Непосредственно проведя интегрирование, получим:
y/x - x = C (интегрирующий множитель в этом примере -1/x²). Интегрирующим множителем будем называть функцию, после умножения на которую, данное уравнение превращается в уравнение в полных дифференциалах.
6) Пример: (x² + y² + 2x) dx + 2y dy = 0
Выделим группу слагаемых, составляющих полный дифференциал
2x dx + 2y dy = d(x² + y²), тогда уравнение примет вид:
(x² + y²) dx + d (x² + y²) = 0, сделаем замену переменных, приняв
z = x² + y².
В
результате
получим
уравнение 
– уравнение с разделяющимися переменными.
zdx = -dz, -dx= dz/z
проинтегрировав, получим
тогда
Окончательно результат можем записать так
