1.4 Уравнение Бернулли.
Уравнением
Бернулли называется дифференциальное
уравнение 1-го
порядка
вида:
,
которое
можно привести к
линейному
дифференциальному уравнению 1-го порядка
введя замену:
.
При
может
быть потеряно решение
.
Примеры: решить уравнения
1)
, тогда
, т.е.
.
В
этом случае
y′=2z∙z′
(дифференцировали
функцию
как
сложную
функцию
аргумента
).
Перепишем исходное уравнение, сделав
указанную замену.
.
Делим
все слагаемые, входящие в уравнение, на
.
При
этом может быть потеряно решение
,
т.е.
.
Подстановка
в исходное уравнение показывает, что
- одно из возможных решений.
-
получим
линейное дифференциальное уравнение
1-го порядка. Решаем его методом вариации
произвольной постоянной.
а)
Решаем сначала уравнение, правая часть
которого
.
-
уравнение с разделяющимися переменными
,
решаем
уравнение с разделяющимися переменными:
;
Тогда
или
,
следовательно,
или
.
2)
Общее решение исходного уравнения будем
искать в виде:
Найдём
функцию
,
подставляя общее решение в ранее
полученное линейное дифференциальное
уравнение.
При этом
Итак,
Тогда
,
т.е.
Решая
полученное уравнение с разделяющимися
переменными, получим
функцию
.
в)
Окончательное решение линейного
дифференциального уравнения относительно
функции
,
имеет вид:
Итак, решение уравнения Бернулли (т.к. y=z²) принимает вид:
2)Рассмотрим уравнение:
,
в
данном примере
,
т.е.
Сделаем
замену, введем
Т.е.
, или
Тогда
Запишем
полученное уравнение, относительно
:
Разделим
правую и левую части уравнения на
,
тогда получим линейное дифференциальное
уравнение 1-го порядка :
z′ - z/x = x
а) Решаем линейное однородное уравнение, полагая правую часть равную нулю.
z′ - z/x = 0 - уравнение с разделяющимися переменными. Решим его:
,
или
;
т.е
б) Общее решение линейного дифференциального уравнения запишем в виде:
z = x ∙C(x), тогда z′ = C(x) + x∙C′
После подстановки получим:
C(x)
+ x∙C′
- (1/x)∙x∙C(x)
= x,
т.е. x∙C′
= x
или
;
в) Окончательное общее решение линейного дифференциального уравнения
Общее решение уравнение Бернулли
,
т.е.
Проверим полученное решение:
Подставим
и
в исходное уравнение
Т.е. имеем тождество, следовательно, полученное решение верно.
3) Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
y(0,5)= 1
Выделим
производную
,
т.е.
В таком виде дифференциальное уравнение не похоже ни на один из
вышерассмотренных типов дифференциальных уравнений первого порядка.
Поменяем местами функцию и аргумент. Тогда
или
- уравнение Бернулли, где
,
тогда
введём функцию
,
или
,
т.е.
, следовательно,
продифференцировав правую и левую
части,
получим:
.
Перепишем
полученное уравнение Бернулли, заменив
,
а
, т.е.
, умножим
правую
и левую части уравнения на
, в результате получим:
z′- 2z/y = -1
это - линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Решаем его методом
вариации произвольной постоянной.
а) z′ - 2z/y =0, т.е. dz/dy = 2z/y или
dz/z
= 2dy/y
- уравнение с разделяющимися переменными
,
т.е
,
тогда
z =
y²∙C
б) Общее решение линейного дифференциального уравнения запишем в виде
z(y) = C(y)∙y²
Продифференцируем
правую и левую части, а полученную
производную
и функцию z(y) подставим в линейное уравнение
.
Тогда
, или
уравнение
с разделяющимися
переменными
,
т.е.
.
в) Решение линейного дифференциального уравнения
.
Но
,
г) Найдём частное решение, удовлетворяющее условию: при x=0,5, y=1 , т.е.
;
,
т.е.
,
тогда
Частное
решение:
