1.3 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным относительно функции у(x) и ее производной у′, если оно имеет вид:
у′ + Р(х)у = Q(х) (1.5)
Рассмотрим метод решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка, называемый методом вариации произвольной постоянной. Состоит этот метод из нескольких этапов:
а) Решается уравнение у′+Р(х) = 0 - уравнение с разделяющимися переменными (на первом этапе функцию Q(х) приравниваем нулю) .
; 
,
Интегрируем
правую и левую части:
получим
ln
y
= 
Тогда
ln
y
ln
C
= 
,
объединяем
логарифмы, а т.к.
разность
логарифмов равна логарифму частного,
следовательно,
ln
,
тогда
и
y
= C
б) Полученное решение подставляем в исходное уравнение, считая при этом константу С – функцией переменной х, т.е. С = С(х)
Тогда
у = С(х)·
,
а
(1.6)
у′
= С′ ·
+ С(х)·
·
(
Р(х))
Подставляем у и у′ в исходное уравнение
С′
·
+ С(х) ·
·
(-Р(х))+P(x)·C(x)
=
=Q(x)
Сокращая подобные члены, получим:
С′
·
=
Q(x)
-
уравнение с разделяющимися переменными
=
,
т.е.
в) Полученная функция С(х) подставляется в решение (1.6).
Примеры: решить уравнения
1)
ху′
2у
= 2
,
делим
все
слагаемые
на
х
у′
(в
наших
обозначениях
Р(х) =
, а
Q(x)
= 2
).
а)
Первый этап решения: считаем
Q(x)=0,
тогда
у′
- уравнение
с
разделяющимися переменными
или
.
ln|y| = 2ln|x|+lnC, объединяем логарифмы в правой части
ln
y
= ln(
C),
получим
у =
·
С
б) Общее решение исходного уравнения будет искать в виде:
у
=
·С(х).
Найдем функцию С(х), для этого полученное решение продифференцируем:
y′
= 2х · С(х) + 
·С′
Подставим у и у′ в исходное линейное дифференциальное уравнение:
2х
· С(х) +
· С′
·
· С(х) = 2
2х
· С(х) + 
·
С′-2x·
С(х) = 2
· С′ = 2
С′ = 2х - уравнение с разделяющимися переменными
Тогда
= 2х; 
С(х) =
+const
в) Подставим функцию С(х) в полученное ранее общее решение, т.е.
у=
Данное
решение можно проверить, подставив в
исходное уравнение функцию у=
и
производную
у′=
x∙у′+2у=х(
)
2(
)=
Решение
верно.
2 ) Рассмотрим уравнение (ху′ 1)ln x = 2y
Перепишем уравнение таким образом, чтобы выделить у′
у′
· xln
x
2y
= ln
x
или
y′
В результате преобразований получили уравнение линейное относительно у и у′.
В
наших обозначениях
Р(х) = 
;
Q(х)
= 
а) Решаем вначале уравнение, считая Q(x)=0
y′ y = 0 - это уравнение с разделяющимися переменными.
, 
ln
y
= 2ln|ln
x|+lnC
, ln
y
= ln[
·C]
Тогда решением уравнения с разделяющимися переменными будет функция
y = C·
б) Пусть C = С(х), тогда решение исходного линейного дифференциального уравнения будет иметь вид:
y
= C(x)·
,
а
y′
= С′ · 
+
C(x)
· 2ln
x
·
Подставим у и у′ в линейное дифференциальное уравнение, и найдем функцию С(х).
С′·
+C(x)
·2ln
x
· 
· C(x)
·
В результате сокращения слагаемых, содержащих С(х), получим уравнение с разделяющимися переменными относительно функции C(x).
С′·
, т.е.
=
, тогда,
сделав замену переменной,
C(x)
= 
=
const
= 
(интеграл,
стоящий справа, вычислили путем замены
переменной, приняв ln
x
= t,
)
в) подставим функцию С(х) в ранее полученное общее решение
y
= C(x)
·
= (
Часто линейное дифференциальное уравнение приходится решать не относительно функции у(х), а относительно функции х(у).
3)
Рассмотрим
уравнение:
y′=
данное
уравнение не является линейным
относительно у
и у′.
Перепишем его следующим образом:
, тогда
или
x′=
получили
линейное
дифференциальное уравнение относительно
функции х(у)
и производной x′y.
Решаем
его по вышеприведенному алгоритму.
а)
В этом уравнении
x′
; P(y)=
; Q(t)=
y
Решаем уравнение с разделяющимися переменными, считая Q (у) = 0
x′
, 
или
; ln|x|
= 3ln|y|
+ lnC
Тогда
x(y)
= C
б) Решение исходного уравнения будем рассматривать в виде:
x(y)
= C(y)
Найдем функцию С(у).
x′
= C′·
(y)
·3
Тогда
x′
или
,
т.е. 
уравнение
с разделяющимися переменными.
; 
;
C(y)
= 
.
в) Подставим функцию С(у) в ранее полученное решение
x(y)
= C(y)
Итак,
x(y)
= 