1.1 Уравнения с разделяющимися переменными.

Если в уравнении y′= f(x, y) функция f(x, y) может быть представлена как произведение сомножителей:

или, если в уравнение (1.4):

, ,

то такое уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными.

Действительно, если , то

Интегрируя левую часть равенства по у, а правую по х, приходим в каждой из них к общему интегралу исходного дифференциального уравнения.

Примеры: решить дифференциальные уравнения.

1) , правую часть можем записать как произведение функций:

,

тогда , ,

интегрируем левую часть ,

интегрируем правую часть .

Объединяем результаты: , или

(общая константа )

В данном примере получено решение в неявном виде, т.е. получен общий интеграл этого уравнения.

При решении дифференциальных уравнений, в принципе, принято константу писать либо при интегрировании левой части, либо правой части.

2) , разделяем переменные , берем интегралы от левой и правой частей, записывая константу только с одной стороны.

, .

Решение получили в виде общего интеграла: .

3) Решить уравнение:

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными задано в дифференциальной форме: .

Делим правую и левую части уравнения на произведение

, после сокращения получим

Левый интеграл решаем заменой переменной, приняв за новую переменную ; ; ;

В правой части табличный интеграл:

объединяя, получим ответ: =0

1.2 Однородные дифференциальные уравнения.

Введем сначала понятие однородной функции. Функция P(x, y) называется однородной порядка k, если для любого t≠0 .

Дифференциальное уравнение первого порядка вида: называется однородным, если и - однородные функции одного и того же порядка.

Дифференциальное уравнение первого порядка разрешенное относительно производной является однородным, если его можно привести к виду:

Решить однородное дифференциальное уравнение первого порядка можно введением новой функции , тогда , а (как производная произведения). После подстановки полученных выражений в исходное уравнение, оно становится уравнением с разделяющимися переменными.

Примеры: решить дифференциальные уравнения:

1) , пусть , тогда , в результате подстановок получим: , или - уравнение с разделяющимися переменными: , интегрируем , . Заменим , тогда или .

2)

Функции и - однородные 1-ого порядка.

, выделим производную , поделим каждое слагаемое правой части уравнения на x, в результате получим:

сделаем замену и , тогда .

В результате получили уравнение с разделяющимися переменными.

; ,

, умножим каждое слагаемое равенства на 2:

Объединим логарифмы, учитывая, что сумма логарифмов равна логарифму произведения.

Окончательно получим:

3)

Поделив все слагаемые уравнения на x, получим:

. Заменим , а ,

, т.е. получили уравнение с разделяющимися переменными:

или , тогда или (иногда константу выгодно записать не как просто константу С, а )

Тогда , прологарифмируем полученное равенство по основанию е :

, но т.к. lne=1, то получим , а .