- •Введение
- •1. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •1.1 Уравнения с разделяющимися переменными.
- •1.2 Однородные дифференциальные уравнения.
- •1.3 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •1.4 Уравнение Бернулли.
- •1.5 Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
- •1.6 Дифференциальные уравнения 1-ого порядка, неразрешенные относительно производной. Метод введения параметра.
- •2. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
- •3.Линейные неоднородные дифференциальные
- •3.1 Линейные однородные дифференциальные уравнения
- •3.2 Методы нахождения частных решений лнду с
- •4. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- •Однородные дифференциальные уравнения.
- •Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
Определение дифференциального уравнения.
Общее и частное решение дифференциального уравнения.
Геометрический смысл дифференциального уравнения 1-ого порядка.
Теорема Коши существования и единственности решения дифференциального уравнения.
Дифференциальные уравнения 1-ого порядка, интегрируемые в квадратурах. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Однородные дифференциальные уравнения.
Линейные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольной постоянной.
Уравнение Бернулли.
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
Дифференциальные уравнения, неразрешенные относительно производной. Метод введения параметра.
Особые решения дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
Линейные дифференциальные уравнения высоких порядков.
Линейный оператор, его свойства.
Свойства решений ЛОДУ.
Линейная зависимость и независимость функций.
Определитель Вронского. Фундаментальная система решений.
Структура общего решения ЛОДУ.
ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
Различные случаи корней характеристического уравнения.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ). Структура общего решения.
ЛНДУ с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных.
ЛНДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод подбора частного решения .
Системы дифференциальных уравнений. Нормальная форма записи. Векторная форма записи. Задача Коши для систем дифференциальных уравнений.
Системы линейных однородных дифференциальных уравнений (СЛОДУ) с постоянными коэффициентами. Фундаментальная матрица системы.
Различные случаи корней характеристического уравнения.
Метод вариации для систем линейных неоднородных дифференциальных уравнений (СЛНДУ).
Метод подбора частного решения.
Понятие об асимптотической устойчивости линейных систем. Критерий устойчивости по корням характеристического уравнения. Устойчивость точек покоя.
Рекомендуемая литература.
Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Высшая математика в 3-х томах. Учебник для вузов под ред. В.А. Садовничева. Т.3. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного.- М.: Дрофа, 2004.
Л.Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. 4-ое изд. М.: КомКнига, 2006.
Сборник задач по математике для ВТУЗов под ред. Ефимова А.В. и Демидовича Б.П., М.: Наука, 1986.
А.Ф. Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск.:РиХД, 2005.
Курс высшей математики – Игнатьева А.В., Смирнов В.Ф., Краснощекова Т.И., изд. «Высшая школа», 1968.