4. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Краткий курс “Дифференциальных уравнений” для студентов заочного отделения ограничивается решением систем линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (СЛОДУ) второго порядка.
,
где 
(4.1)
Данную систему (4.1) можно решать методами линейной алгебры. Характеристическое уравнение при этом примет вид:
, (4.2)
Где
-
матрица коэффициентов при неизвестных
функциях x(t)
и
y(t)
в правой части.
– единичная матрица того же порядка (в
нашем случае порядок n=2),
что и матрица 
.
– собственные значения матрицы (
.
Возможны следующие случаи:
А)
– разные действительные числа. Тогда
для
ищутся собственные вектора 
,
и общее решение СЛОДУ запишется в виде:
Пример:
Характеристическое уравнение (4.2) примет вид:
,
т.е. 
Решив
квадратное уравнение : 
,
получим 
.
Для
находим собственный вектор 
,
координаты которого получим решением
алгебраической системы уравнений:
,
из линейной алгебры известно, что ранг такой системы равен единице, поэтому
; 
; 
тогда
Ищем
по аналогии координаты собственного
вектора 
для 
.
Получим алгебраическую систему
,
следовательно, 
,
тогда 
Окончательно, решение системы примет вид:
или
Б)
– комплексно-сопряженные числа (
)
Порядок решения в этом случае тот же, но общее решение ищется в виде:
В этом случае ищется один собственный вектор для, например, λ =α + iβ.
Решением
СЛОДУ будет действительная часть 
произведения собственного вектора и
функции 
и
мнимая часть 
этого произведения.
Пример:
Решаем характеристическое уравнение (4.2):
,
т.е. 
Получим квадратное уравнение:
; 
Составляем
алгебраическое уравнение для нахождения
собственного вектора для 
Записываем только одно уравнение, т.к. ранг системы, как известно из курса “Линейная алгебра” равен единице.
,
или
,
т.е. при 
;
,
следовательно,
или
умножив на 5 
(пропорциональность координат при этом не меняется)
Найдем
произведение ( 
)
и выделим действительную и мнимую
части.
Тогда
Решение получим в виде:
Или
В)
Корни
характеристического уравнения
действительные, равные между собой
(кратные) 
.
В этом случае не следует искать собственный вектор и решение СЛОДУ запишется в виде:
и 
Коэффициенты a и b находятся, подставляя указанные выражения для x(t) и y(t) , а также их производных в исходную систему.
Пример:
Запишем характеристическое уравнение (4.2)
,т.е.
Решаем квадратное уравнение:
, 
, 
(корень кратный)
Решение запишем в виде:
,
тогда 
,
тогда 
Подставим полученные выражения в исходную систему.
Сокращаем
оба равенства на 
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях t в первом равенстве:
;
т.е.
;
;
т.е.
;
Второе равенство дает тот же самый результат. Следовательно, общее решение СЛОДУ примет вид:
;
Приложение.
Варианты индивидуальных домашних заданий.
Индивидуальные домашние задания содержат пять задач.
В задания №1 и №2 необходимо определить тип дифференциального уравнения первого порядка и решить его.
В заданиях №3 и №4 необходимо решить ЛНДУ второго порядка. В задании №3 – методом вариации произвольных постоянных; в задании №4 – методом подбора частного решения с определением коэффициентов частных решений. В задании №5 необходимо решить СЛОДУ.
Вариант №1.
1)
2)
3)
4)
5)
Вариант №2.
1)
2)
3)
4)
5)
Вариант №3.
1)
2)
3)
4)
5)
Вариант №4.
1)
2)
3)
4)
5)
Вариант №5.
1)
2)
3)
4)
5)
Вариант №6.
1)
2)
3) y′′ + 3y′ +2y = sec³ x
4)
5)
Вариант №7.
1)
2)
3)
4)
5)
Вариант №8.
1)
2)
3)
4)
5)
Вариант №9.
1)
2)
3)
4)
5)
Вариант №10.
1)
2)
3)
4)
5)
Вариант №11.
1)
2)
3)
4)
5)
Вариант №12.
1)
2)
3)
4)
5)
Вариант №13.
1
2)
3)
4)
5)
Вариант №14
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
Вариант №15
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
Вариант №16
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
Вариант №17
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
Вариант №18
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
Вариант №19
1) ;
2)
;
3) ;
4) ;
5) ;
Вариант №20
1)
;
2) ;
3)
;
4)
;
5) ;
Вариант №21
Вариант №22
Вариант №23
Вариант №24
Вариант №25
Вариант №26
dy=0
Вопросы к экзамену по курсу «Дифференциальные уравнения».