Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

Московский авиационный институт

(национальный исследовательский университет)

«МАИ»

РАДИОВТУЗ МАИ

О.М.Данченко

ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ПО КУРСУ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

Москва

2013

Содержание

1. Дифференциальные уравнения первого порядка…………………….

1.1. Уравнения с разделяющимися переменными………………………..

1.2. Однородные дифференциальные уравнения………………………....

1.3. Линейные дифференциальные уравнения 1-ого порядка……………

1.4. Уравнения Бернулли……………………………………………………

1.5. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах…………

1.6. Дифференциальные уравнения, неразрешенные относительно

производной……………………………………………………………..

2. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие

понижение порядка……………………………………………………..

3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с

постоянными коэффициентами……………………………………….

3.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения с

постоянными коэффициентами…………………………………….....

3.2. Методы нахождения частных решений линейных неоднородных

дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами….

4. Системы линейных дифференциальных уравнений с

постоянными коэффициентами………………………………………...

Приложения……………………………………………………………………

Введение

Предлагаемое учебное пособие содержит краткий курс по решению обыкновенных дифференциальных уравнений в соответствии с принятой учебной программой. В пособии кратко приводятся основные теоретические сведения по курсу «Дифференциальные уравнении». Основное внимание в пособие уделено решению практических примеров, входящих в варианты индивидуальных домашних заданий. Пособие состоит из четырех частей. Первая часть учебного пособия посвящена дифференциальным уравнениям первого порядка, интегрируемым в квадратурах. Вторая и третья части посвящены решению дифференциальных уравнений высокого порядка. В третьей части рассматриваются уравнения высокого порядка, допускающие понижения порядка при своем решении. В третьей части рассматриваются линейные дифференциальные уравнения высокого порядка с постоянными коэффициентами. Приводятся методы решения однородных дифференциальных линейных уравнений и неоднородных. Для неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами приводятся два метода нахождения частных решений: метод вариации произвольных постоянных и метод подбора частного решения при специальной правой части. Четвертая часть данного пособия посвящена решению систем линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В приложении к пособию приведены варианты индивидуальных домашних заданий, список вопросов к экзамену, рекомендуемая литература. В каждой части пособия приведено большое количество подробно разобранных примеров, что позволяет использовать данное пособие для успешного выполнения индивидуальных домашних заданий. Предлагаемое пособие может быть полезным при подготовке к экзамену по курсу «Дифференциальные уравнения» как для студентов заочного, так и очного отделений.

1. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальным уравнением называет соотношение, связывающее независимую переменную х, функцию y(x) и производные этой функции y′, y′′, … , y⁽ⁿ⁾ :

y⁽ⁿ⁾ (1.1)

Порядок дифференциального уравнения определяется порядком старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение.

Если дифференциальное уравнение имеет вид:

^{(n) (n-1)} , (1.2)

то такое дифференциальное уравнение называется уравнением разрешенным относительно старшей производной.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y=φ(x), при подстановке которой в уравнение, данное уравнение обращается в тождество.

Решение дифференциального уравнения, заданное неявным соотношением Ф(х, у) = 0 называется интегралом этого уравнения. График решения дифференциального уравнения называется его интегральной кривой.

Общий вид дифференциального уравнения 1-ого порядка, разрешенного относительно производной:

(1.3)

Дифференциальное уравнение первого порядка так же может быть

записано в дифференциальной форме:

(1.4)

Функция у = φ(x, с) - называется общим решением уравнения (1.3) или (1.4).

Уравнение Ф(х, у, с) = 0, которое определяет общее решение, как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Если уравнение (1.3) удовлетворяет заданным начальным условиям:

у(х₀) = у₀, то такая задача решения дифференциального уравнения называется задачей Коши.

Теорема Коши о существовании и единственности решения уравнения (1.3) с заданными начальными условиями:

”Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную (x, y), то какова бы ни была точка (х₀,у₀) области D, существует, и притом единственное, решение y= φ(x) уравнения (1.3), определенное в некотором интервале, содержащем точку х₀ и принимающее при х=х₀ значение φ(x₀)=у₀.“

Геометрически это утверждение означает, что через каждую внутреннюю точку (х₀,у₀) области D проходит только одна интегральная кривая уравнения.

Рассмотрим основные типы дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной.