64). I0v13, 30, Указание. Пусть р — середина ав. Из

условия следует, что NK содержит В, причем ВК—МА, BN=LA. Так как /.РАМ тупой (МЛ С ML), то тупой также 2LKBP. Значит, ближай­шей к К точкой квадрата ABCD будет В, КВ—Ъ. (Здесь учитываем, что NB = NC). Ближайшей к М является проекция М на AD. Поскольку МА=ВК=5, то проекция МА на AD равна -у/25 — 12=-\ДЗ. то есть МА

/1 о

образует с AD угол q>, cos <р= ,. . Положим АВ=2х, KN—y. Проек­ция BN=y—5 на СВ равна х (т. к. NB=NC), а угол между В N и СВ

_С1 Лз

равен <р, значит (у—5)-^——х. Второе уравнение получим, записав

теорему косинусов для треугольника PNB(/LPNB=4b°, PN=—

2 Г

PB = x,NB=y — 5): —5)² — у(у—5). и т.д. 65).

Указание Пусть плоскость а пересекает прямую АВ в точке Р. Обозна­чим АВ — а, АА\ =b, AKi=xa, A\M=yb. Последовательно найдем

. . _1Ч 7 у К₂Кз 3(2*— 1) .. МК\ —(У+1)ftp ~ g^ • ^Из последнего равенства

найдем у— j?* ^. Записав теорему косинусов для треугольника К\АР, £Х о

получим (после преобразований) 14=(4jc² — 6лг+3)а². Запишем равенс­тво РМ² — К\М^г=РА²—К\А². Заменим РМ² по теореме косинусов из

д РК\М, cosZPK.M^. ^

В получившемся соотношении заменим у и а через х

.(2*-l)(2*+3) ^W^^Uj-l + S- ^{Далее Имеем}

5-2* 4(jc-X²) „ 5 _п

_2х3 = __6л,з • Из этого уравнения найдем Далее

у=±, _а=342, 6=-р/2- 66). ¹²⁵₃^. 67). 90°. 68). arctg (yt_g а)

₆₉₎. iH^VL. 70). 72. 71). //ct_g54«Mg-|, 72). уV' 73). 3. 74). 60°. 75). 54.

76). ya²sin a-\/l+4tg²p или a²sin-^~\Jcos²y+4sin² ytg⁵^ в зависимости от того, является ли угол В ромба тупым или острым. 77). Я = 2, Я = 4. 78). Л/( у, --79). -jL&Wa-tg _Ф

9h

80). 8. 81). arctg ■= Указание. Задача сводится

o(5sin а + 2д/5 cos а) к определению расстояния от точки О до ВС. В равнобедренном треу­гольнике АВК высота ВО делит боковую сторону в отношении АО : ОК — 8 : 1. Положим ОК=х, АО=8х, ВК=9х.

Выражая во из треугольников аво и кво и приравнивая эти

а 2

выражения, найдем ^х~~\2' Если z.oba=<р, то sin ф=у

Z.OBC= 180° — а—ф. Расстояние от О до ВС равно Oflsin(a-f <p)=a-y-(sin acos ф+cos asin <p) = a-^y^-y-sin a+ycos a^

82). arctg^-^t,gaj; arctg (ytg a). 83). 390 {см³). 84). 85). 4/²л/3 86). • Указание. Если <p— угол между апофемой боко­

вой грани и высотой пирамиды, то sin ф=4-. Таким образом, расстоя

4

ние от центра сферы до боковой грани равно rf=/?sin ф=у. Пуст»

$авс, aci 9

Чт) 45

₄₉, ^50, 2arcs^/_g„. ^ЗП-ГХ») 81

НЕЗАМЕНИМ НА УРОКАХ, КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТАХ И

ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНАХ ПО МАТЕМАТИКЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ НАБОР «ЛЮМОГРАФ»

• быстрое, простое, правильное выполнение ри­сунков основных геометрических фигур и их комбинаций.

• хороший обзор всех основных элементов изобра­женных фигур

• постоянное общение с интересным справочным материалом.

»

Заказы принимаются по адресу:

290053 г. Львов, а/я 5228, фирма «КВАНТОР».

1 1—921

2 59