2.7 Однофакторный дисперсионный анализ
Средние значения
Дисперсия
Среднеквадратическое отклонение
2.8 Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда,
где m = 1 - количество влияющих факторов в модели тренда,
По таблице Стьюдента находим Tтабл
Tтабл (n-m-1;α/2) = (8;0,025) = 2,306
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и t = 6
(59,95 + 0,2*6 - 2,306*8,33 ; 59,95 + 0,2*6 - 2,306*8,33)
(52,82;69,48)
2.9 Интервальный прогноз
Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя,
m = 1 - количество влияющих факторов в уравнении тренда,
Uy = yn+L ± K
где
L - период упреждения; уn+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя; Tтабл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости α и для числа степеней свободы, равного n-2,
По таблице Стьюдента находим Tтабл
Tтабл (n-m-1;α/2) = (8;0,025) = 2,306
Точечный прогноз, t = 11: y(11) = 0,2*11 + 59,95 = 62,15
62,15 - 9,05 = 53,1 ; 62,15 + 9,05 = 71,2
Интервальный прогноз:
t = 11: (53,1;71,2)
Точечный прогноз, t = 12: y(12) = 0,2*12 + 59,95 = 62,35
62,35 - 9,49 = 52,86 ; 62,35 + 9,49 = 71,84
Интервальный прогноз:
t = 12: (52,86;71,84)
Точечный прогноз, t = 13: y(13) = 0,2*13 + 59,95 = 62,55
62,55 - 9,97 = 52,58 ; 62,55 + 9,97 = 72,52
Интервальный прогноз:
t = 13: (52,58;72,52)
Точечный прогноз, t = 14: y(14) = 0,2*14 + 59,95 = 62,74
62,74 - 10,5 = 52,24 ; 62,74 + 10,5 = 73,24
Интервальный прогноз:
t = 14: (52,24;73,24)
Точечный прогноз, t = 15: y(15) = 0,2*15 + 59,95 = 62,94
62,94 - 11,07 = 51,87 ; 62,94 + 11,07 = 74,01
Интервальный прогноз:
t = 15: (51,87;74,01)
ВЫВОД: Можно ожидать, что в 2013 – 2015 годах добыча нефти в ОАО «Сургутнефтегаз» будет находиться в пределах
2013 Год: (52,58;72,52) тыс. Тонн
2014 Год: (52,24;73,24) тыс. Тонн
2015 Год: (51,87;74,01) тыс. Тонн
2.10 Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда
1) t-статистика, Критерий Стьюдента,
Статистическая значимость коэффициента b не подтверждается
Статистическая значимость коэффициента a подтверждается
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда,
Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95% будут следующими:
(b - tнабл Sb; b + tнабл Sb)
(0,199 - 2,306•0,38; 0,199 + 2,306•0,38)
(-0,67;1,07)
Так как точка 0 (ноль) лежит внутри доверительного интервала, то интервальная оценка коэффициента b статистически незначима,
(a - tнабл Sa; a + tнабл Sa)
(59,953 - 2,306•2,35; 59,953 + 2,306•2,35)
(54,53;65,37)
2) F-статистика, Критерий Фишера,
Находим из таблицы Fkp(1;8;0,05) = 5,32
где m - количество факторов в уравнении тренда (m=1),
Поскольку F < Fkp, то коэффициент детерминации (и в целом уравнение тренда) статистически не значим
2.11 Проверка гипотезы о зависимости объемов добычи (тыс. Тонн) от количества среднедействующих скважин в оао «Сургутнефтегаз» Корреляционный анализ. Уравнение парной регрессии.
Использование графического метода.
Этот метод применяют для наглядного изображения формы связи между изучаемыми экономическими показателями. Для этого в прямоугольной системе координат строят график, по оси ординат откладывают индивидуальные значения результативного признака Y, а по оси абсцисс - индивидуальные значения факторного признака X.
Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции.
Поле корреляции
На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.
Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε
Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение).
Причины существования случайной ошибки:
1. Невключение в регрессионную модель значимых объясняющих переменных;
2. Агрегирование переменных. Например, функция суммарного потребления – это попытка общего выражения совокупности решений отдельных индивидов о расходах. Это лишь аппроксимация отдельных соотношений, которые имеют разные параметры.
3. Неправильное описание структуры модели;
4. Неправильная функциональная спецификация;
5. Ошибки измерения.
Так как отклонения εi для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:
1) по наблюдениям xi и yi можно получить только оценки параметров α и β
2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т.к. соответствуют случайной выборке;
Оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где ei – наблюдаемые значения (оценки) ошибок εi, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.
Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов).
Метод наименьших квадратов дает наилучшие (состоятельные, эффективные и несмещенные) оценки параметров уравнения регрессии. Но только в том случае, если выполняются определенные предпосылки относительно случайного члена (ε) и независимой переменной (x).
Формально критерий МНК можно записать так:
S = ∑(yi - y*i)2 → min
Система нормальных уравнений.
a•n + b∑x = ∑y
a∑x + b∑x2 = ∑y•x
Для наших данных система уравнений имеет вид
10a + 168571 b = 610.5
168571 a + 2862587561 b = 10291057.6
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии:
b = -1 -5, a = 61.2123
Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):
y = -1.0E-5 x + 61.2123
Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.
Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)
x |
y |
x2 |
y2 |
x • y |
15387 |
54 |
236759769 |
2916 |
830898 |
15325 |
59.5 |
234855625 |
3540.25 |
911837.5 |
15340 |
63.9 |
235315600 |
4083.21 |
980226 |
15813 |
65.6 |
250050969 |
4303.36 |
1037332.8 |
16308 |
64.5 |
265950864 |
4160.25 |
1051866 |
16727 |
61.7 |
279792529 |
3806.89 |
1032055.9 |
17262 |
59.6 |
297976644 |
3552.16 |
1028815.2 |
17950 |
59.5 |
322202500 |
3540.25 |
1068025 |
18969 |
60.8 |
359822961 |
3696.64 |
1153315.2 |
19490 |
61.4 |
379860100 |
3769.96 |
1196686 |
168571 |
610.5 |
2862587561 |
37368.97 |
10291057.6 |