Разложение рациональной дроби на элементарные.

Полином – знаменатель рациональной дроби может иметь действительный корень некоторой - ой кратности. Тогда , где многочлен уже не имеет корня . В этом случае из рациональной дроби можно выделить элементарную рациональную дробь вида .

Лемма 2. Пусть - действительный корень - ой кратности полинома – знаменателя рациональной дроби. Тогда

= , где многочлен уже не имеет корня .

Доказательство. Приведем дроби к общему знаменателю и приравняем числители полученных дробей.

. Тогда выражение должно делиться на , т.е. . Этого можно добиться, выбрав .

Следствие 1. В условиях леммы 2 рациональную дробь можно представить в виде

где не имеет корня .

Доказательство. Применим лемму 2 раз и получим указанное разложение.

Полином – знаменатель рациональной дроби может иметь пару комплексно сопряженных корней - ой кратности. Тогда Причем уже не являются корнями полинома . В этом случае из рациональной дроби тоже можно выделить некоторую элементарную рациональную дробь вида .

Лемма 3. Пусть – знаменатель рациональной дроби имеет пару комплексно сопряженных корней - ой кратности. Тогда рациональную дробь можно представить в виде

= , где уже не являются корнями полинома .

Доказательство. Приведем дроби к общему знаменателю и приравняем числители полученных дробей.

= . должно делиться как на , так и на . Поэтому

, где = , =

Отсюда имеем систему уравнений для определения констант

.

Определитель этой системы равен , так как корни комплексные и . Поэтому система имеет единственное решение.

Следствие 2. В условиях леммы 2 рациональную дробь можно представить в виде

= + + …+ + ,

где уже не являются корнями полинома .

Доказательство. Применяем лемму 3 нужное число раз и получаем искомое разложение.

Теорема. Рациональная функция может быть представлена в виде

= + +…+ +…+ + + …+ + …+ ,

где - простой действительный корень , - действительный корень кратности , - пара комплексно сопряженных корней кратности (комплексно сопряженные корни ), - простая пара комплексно сопряженных корней (корни ).

Доказательство. Применяем к рациональной функции лемму 1, выделяем полином – целую часть , затем по лемме 2, выделяем члены разложения, соответствующие простым и кратным действительным корням. Затем по лемме 3 выделяем члены разложения, соответствующие простым и кратным парам комплексно сопряженных корней. Так как многочлен может иметь корни лишь перечисленных типов, то разложение этим и исчерпывается.

Следствие 3. Задача интегрирования рациональной функции сводится к задачам интегрирования элементарных рациональных дробей четырех типов

1. , 2) , 3) , 4) .

Способы вычисления коэффициентов при разложении рациональной дроби на элементарные.

Пример.

Теперь надо приравнивать многочлены в числителях дробей и определять неизвестные коэффициенты A, B, M, N, P, Q.

Это можно сделать двумя способами.

1 способ – приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях переменной, составлять и решать систему уравнений.

X⁵| 3=A+B+M

X⁴| 1=A-B+N

X³| 7=2A+2B+P

X²| 2=2A-2B+Q Решение системы A=2, B=1, M=N=Q=0, P=1.

X |2=A+B-N-P

1 |1=A-B-N-Q

2 способ – задавать значения неизвестной, вычислять значения числителей и составлять систему уравнений.

X=1 | 16=8A

X= -1| -8=-8B

X=0 | 1=A-B-N-P

X=2 | 181=75A-25B+30M+15N+6P+3Q

X=-2 | -96= -25A-75B-30M+15N-6P+3Q

X=-3 | -824= -200A –400B-240M –80N –24P+8Q

Решая эту систему уравнений, получим то же решение A=2, B=1, M=N=Q=0, P=1.

Какой способ применять – зависит от того, где получается более простая и удобная для решения система уравнений.

В данном примере вторая система сложнее первой.