7.3. Теорема Лагранжа.

Теор.7.3. Пусть функция f (х): 1. непрерывна на отрезке [a,b]; 2. дифференцируема в каждой точке интервала (a,b).

Тогда на интервале (a,b) найдётся точка с (a<с<b), в которой .

Док-во. Рассмотрим на отрезке [a,b] вспомогательную функцию

. Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля (она 1. непрерывна как разность между непрерывной f (х) и непрерывной линейной функцией; 2. в любой точке интервала (a,b) имеет производную ; 3. на концах отрезка [a,b] принимает одинаковые значения: ). Следовательно, по теореме Ролля, с(a,b), для которой , т.е. .

Геометрический смысл теоремы Лагранжа : так как отношение равно угловому коэффициенту секущей АС, на кривой АС найдётся по крайней мере одна точка , в которой касательная параллельна хорде АС. Следующая из теоремы Лагранжа формула называется формулой конечных приращений Лагранжа, она позволяет оценить приращение функции на отрезке [a,b] через приращение аргумента и оценку значений производной на интервале (a,b) и часто применяется в математическом анализе.

7.4. Теорема Коши.

Теор.7.4. Пусть функции f (х) и g (х): 1. непрерывны на отрезке [a,b]; 2. имеют производные f '(x) и g'(х) на интервале (a,b); 3. g'(х)  0 на интервале (a,b). Тогда на интервале (a,b) найдётся точка с (a<с<b), в которой .

Док-во. Отметим предварительно, что g(b)  g(a) (иначе по теореме Ролля нашлась бы точка с(a,b), в которой g '(с) = 0, что противоречит условию теоремы), так что дробь в правой части формулы Коши имеет смысл. Рассмотрим функцию . Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля (проверить!), поэтому  с(a,b), в которой F '(с) = 0. , поэтому в точке с , т.е. , что и требовалось доказать.

Легко убедиться, что теорема Лагранжа - частный случай теоремы Коши при .

7.5. Теоремы Лопиталя.

Теор.7.5 (неопределённость ). Пусть функции f (х) и g (х): 1. непрерывны на отрезке

[a, b]; 2. , ; 3. существуют производные f '(х) и g'(х) на интервале (a,b), причём g'(х)  0; 4. существует (конечный или бесконечный) . Тогда существует , и .

Док-во. Так как функции f (х) и g (х) непрерывны в точке а, то , , и . Для функций f (х) и g (х) на отрезке [a, х] выполняются условия теоремы Коши, поэтому существует точка с(a, х), такая что . Устремим , при этом и . В пределе получим , что и требовалось доказать.

Распространим доказанную теорему на случай :

Теор.7.6. Пусть функции f (х) и g (х): 1. определены и непрерывны на бесконечном полуинтервале [a, +), а>0; 2. , ; 3. существуют производные f '(х) и g'(х) на интервале (a, +), причём g'(х)  0; 4. существует (конечный или бесконечный) . Тогда существует , и .

Док-во. Перейдём к новой переменной t=1/x; x=1/t. Если , то . На отрезке рассмотрим функции и . Эти функции удовлетворяют условиям теоремы 7.5, поэтому . С другой стороны, , откуда и следует справедливость утверждения теоремы.

Сформулируем без доказательства теорему, которая позволяет раскрывать неопределённости вида :

Теор.7.7 (неопределённость ). Пусть функции f (х) и g (х): 1. непрерывны на полуинтервале (a, b]; 2. , ; 3. существуют производные f '(х) и g'(х) на интервале (a,b), причём g'(х)  0; 4. существует (конечный или бесконечный) . Тогда существует , и .

Теорема остаётся справедливой и для случаев . В целом теоремы Лопиталя - это мощное средство для раскрытия неопределённостей всех видов.