6.3. Производная обратной функции.
Вывод
формул производных функций
и
.
Теор.6.1.
Пусть для f(x):
1. выполняются условия Теор.5.6.5
об обратной
функции
(непрерывность и строгая монотонность
на отрезке [a,b]).
2. в точке х0
существует неравная нулю производная
f'(х0).
Тогда обратная функция х
= g(у)
в точке у0=
f(х0)
также имеет производную, равную
.
Док-во.
Придадим переменной у
приращение у0.
Тогда переменная х
получит приращение
.
Вследствие строгой монотонности х0;
вследствие непрерывности х0у0.
.
Устремим у0,
тогда х0
и, по условию теоремы, существует
(предел дроби), т.е.
.
Итак,
производные взаимно обратных функций
связаны соотношением
.
Применим эту формулу для вывода производных обратных тригонометрических функций.
8.
.
Обратная функция
имеет производную
.
Так как
,
получим:
.
9.
Для функции
совершенно аналогично получается
.
6.4. Формула для приращения функции, имеющей производную.
Непрерывность функции, имеющей производную.
Пусть x - точка, в которой функция у= f(x) имеет производную у'(x), х и у - приращение аргумента и соответствующее приращение функции. Докажем
Теор.6.2. Если функция имеет производную в точке х, то её приращение в этой точке можно представить в виде у= у'(x) х + (х) х, где (х) - бесконечно малая функция при х 0.
Док-во.
Пусть
.
По теор.4.4.9
о связи функции с её пределом функция
представляется в виде
.
Домножая это выражение на х,
получим необходимое представление
приращения функции, имеющей производную.
Из доказанной теоремы сразу следует, что функция, имеющая производную в точке х, непрерывна в этой точке: если х0, то у= у'(x) х + (х) х тоже стремится к нулю, т.е. БМ приращению функции соответствует БМ приращение аргумента. Обратное утверждение неверно: функция |x| непрерывна в точке x =0, но не имеет в этой точке производной.
6.5. Основные правила дифференцирования.
Здесь мы выведем основные формулы, применяющиеся при нахождении производных - формулы для производных суммы, произведения, частного и т.д. Значение функции в точке х+x нам удобно будет представлять в виде у(х+x)= у(х)+ у= у(х)+ у'(x) х + (х) х, где (х) - БМ при х 0, следующим из определения для приращения функции: у = у(х+x)- у(x).
6.5.1. Пусть функция u(x) имеет производную в точке х. Тогда в этой точке имеет производную функция y(x)=(Сu(x)), и (Сu(x))' = Сu'(x).
Док-во:
y
= (Сu(x))=
(Сu(x+x))-
(Сu(x))=С[u(x+x)-
u(x)]=Cu
.
6.5.2. Производная суммы. Пусть функции u(x) и v(x) имеют производные в точке х. Тогда в этой точке имеют производные функции y = (u(x) v(x)), и (u(x) v(x))' = u'(x) v'(x).
Док-во:
y
= (u(x)
v(x))=
(u(x+x)
v(x+x))-
(u(x)
v(x))=[u(x+x)-
u(x)]
[v(x+x)-
v(x)]=u
v(x)
.
6.5.3. Производная произведения. Пусть функции u(x) и v(x) имеют производные в точке х. Тогда в этой точке имеет производную функция y = (u(x)v(x)), и (u(x)v(x))' = u'(x)v(x)+ u(x)v'(x).
Док-во. Найдём у. Так как u(х+x)= u(х)+u, v(х+x)= v(х)+v, то
у=
u(х+x)v(х+x)-
u(х)v(х)=[u(х)+u][v(х)+v]-u(x)v(x)=
u(x)v+
v(x)u+uv.
.
Перейдём к пределу при х
0.
Так как при этом u
0,
то
.
6.5.4.
Производная
частного.
Пусть функции
u(x)
и v(x)
имеют производные в точке х,
причём v(x)0.
Тогда в этой точке имеет производную
функция
,
и
.
Док-во.
Найдём у:
.
.
Перейдём к пределу при х
0.
Так как при этом v
0,
то
.
6.5.5.
Производная сложной функции.
Теор.6.3.
Пусть функция
имеет в точке
производную
,
функция
имеет в точке
производную
.
Тогда сложная функция
имеет в точке
производную,
равную произведению производных функций
и
:
.
Док-во.
Придадим переменной
приращение х,
тогда переменная u
получит приращение u,
как следствие, функция
получит приращение у.
По Теор.6.2 о
приращении функции, имеющей производную,
,
где (u)
- БМ функция при u
0.
Тогда
.
Перейдём к пределу при x
0.
Так как при этом u
0,
то
6.5.6.В качестве примера применения доказанных в этом разделе формул выведем формулы для производных оставшихся элементарных функций:
10.
.
11.
доказывается аналогично.
12.
.
13.
доказывается аналогично.
14.
.
15.
- доказывается аналогично.
16.
.
17.
-
доказывается аналогично.
18.
.
19.
- доказывается аналогично.
20.
.
21.
- доказывается аналогично (формула (20)
справедлива при |x|<1,
(21) - при |x|>1).