8.4. Достаточные условия экстремума функции.

8.4.1. Первый достаточный признак экстремума (в критической точке, по знаку первой производной). Пусть точка - критическая точка первого рода функции , т.е. функция имеет производную в каждой точке некоторой проколотой окрестности точки , и пусть сохраняет определённый знак как справа, так и слева от точки (в отдельности). Тогда: если производная сохраняет знак при переходе через точку , то экстремум в этой точке отсутствует; если производная меняет знак при переходе через точку , то точка - точка экстремума, при этом если >0 при x< , <0 при x> , то - точка максимума, если <0 при x< , >0 при x> , то - точка минимума.

Док-во. Пусть и сохраняет знак при переходе через критическую точку , примем для определённости, что >0 при . Это означает, по теор.7.1.2 о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции, что функция возрастает как справа, так и слева от точки , т.е. экстремум в этой точке отсутствует. Аналогично, если <0 для , то убывает как слева, так и справа от точки , т.е. экстремум в этой точке отсутствует.

Рассмотрим теперь случай, когда производная меняет знак при переходе через точку ; пусть, для определённости, >0 при x< , <0 при x> , т.е. производная меняет знак с "+" на "-". По той же теореме 7.1.2 в этом случае возрастает при x< и убывает при x> , т.е. - точка максимума.

Совершенно аналогично, в случае, когда производная меняет знак с "-" на "+" при переходе через точку , получим, что - точка минимума.

Рассмотрим два примера на применение изложенного алгоритма нахождения экстремумов.

1. Найти участки монотонности и экстремумы функции .

Производная этой функции существует везде:

, поэтому критические точки 1-го рода совпадают со стационарными точками: , , . Эти точки разбивают область определения (всю числовую ось) на четыре интервала, в каждом из которых производная сохраняет знак, т.е. функция сохраняет направление монотонности. Составим таблицу:

	+	0		0	+	0	+
		Мах=0		min		Нет экстр.

Т очка - точка максимума, ; точка - точка минимума, ; в точке экстремума нет (функция возрастает в окрестности этой точки). График функции на отрезке [-2.5, 2] приведён справа.

2. Найти участки монотонности и экстремумы функции . . Решая уравнение , находим стационарные точки , другими критическими точками первого рода будут точки , , в которых знаменатель обращается в нуль. Так как функция чётна, достаточно исследовать её поведение при ; в таблицу включаем левую окрестность точки :

			+	0			
		Мin=0		Max		Нет экстр.

Т очка , как и точка , будет точкой максимума с тем же значением функции; в точке экстремум отсутствует.

8.4.2. Второй достаточный признак экстремума (в стационарной точке, по знаку второй производной). Пусть функция в стационарной точке имеет не только первую, но и вторую производную. Тогда если , то - точка минимума, если , то - точка максимума.

Это правило непосредственно следует из теоремы 7.1.2 о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции и из первого достаточного признака экстремума 8.4.1: если - стационарная точка ( ), и , то производная возрастает в точке . Так как , то отрицательна при и положительна при в некоторой окрестности точки , т.е. меняет знак с "-" на "+" при переходе через критическую точку , следовательно, - точка минимума. Если - стационарная точка, и , то совершенно также доказывается, что - точка максимума.

8.4.3. Третий достаточный признак экстремума (в стационарной точке, по старшим производным). Мы получили уже два достаточных признака наличия экстремума функции в точке, но даже с их помощью затруднительно ответить на вопрос: имеет ли функция экстремум в точке ? И первая, и вторая производные функции в этой точке равны нулю; исследовать знак первой производной в окрестности точки непросто. Ответ на этот вопрос даёт следующее правило: пусть функция имеет в точке все производные вплоть до n-го порядка, причём . Тогда, если n (порядок первой отличной от нуля производной) нечётно, то экстремум в точке отсутствует; если n чётно, то при - точка минимума, при - точка максимума.

Док-во. При сделанных предположениях относительно производных функции её разложение в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Пеано имеет вид

, где при . При х, достаточно близких к , знак последнего выражения определяется знаком . Если n нечётно, то разность меняет знак при переходе через точку , т.е. экстремум отсутствует. Если n чётно, то эта разность сохраняет знак при переходе через точку , при этом если , то эта разность отрицательна, т.е. - точка максимума, если , то эта разность положительна, т.е. - точка минимума.

Для функции получим: , ; , ; , ; , ; , ; порядок первой отличной от нуля производной нечётен, следовательно, эта функция экстремума в точке 0 не имеет.