7.7.3. Форма Пеано остаточного члена формулы Тейлора.
Лемма
7.8.
Пусть для функции Rn(x)
существуют все производные вплоть до
n-го
порядка и выполняются условия
.
Тогда при
эта функция является бесконечно малой
выше n-го
порядка по сравнению с х-
х0.
Док-во
проведём по методу математической
индукции. Если n
= 1 и L(x0)
= L'(x0)
= 0,
то, по теор.6.2
о приращении дифференцируемой функции
L
= L(x)
- L(x0)
= L(x)
= L'(x0)x+
(x)x
=(x)x=
о(x)=
о(x-
x0)
((x)
- БМ при x0).
Пусть теперь утверждение леммы справедливо
для n-1
(т.е. если
,
то
L(x)=о(x- x0)n-1), докажем, что оно верно и для n. Пусть для функции Rn(x) выполняются условия . Функция Rn'(x)=L(x) удовлетворяет утверждению леммы c n-1, поэтому R'n (x) = о(x- x0)n-1. Тогда по формуле конечных приращений Лагранжа (7.3) Rn(x) = Rn(x) - Rn(x0) = R'n(с)( x- x0), где с находится x между и x0, и так как
| с- x0 | <| x- x0 |, то R'n(с) = о(с- x0)n-1 = о(х- x0)n-1, поэтому Rn(x) = R'n(с)( x- x0) =
= о(х- x0)n-1( x- x0) = о(х- x0)n, что и требовалось доказать.
Таким
образом, для остаточного члена мы
получили оценку Rn(x)
= о(х-
x0)n.
Так как
,
то окончательно
Эта формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
7.7.4.
Форма Лагранжа остаточного члена формулы
Тейлора. Если
в окрестности
точки x0
существуют все производные функции
f(x)
до n+1-го
порядка, можно получить другое
представление остаточного члена:
,
где
,
точка с
расположена между x
и x0.
Это представление остаточного члена
называется формой Лагранжа.
Докажем
это утверждение. Заметим, что
.
Вместе с функцией Rn(x)
рассмотрим функцию
.
Эта функция, как и Rn(x),
имеет в точке x0
n
равных нулю производных:
,
а
.
К паре функций Rn(x),
на отрезке
применим теорему Коши:
,
где точка
расположена между x
и x0.
Далее к паре функций R'n(x),
на отрезке
снова применим теорему Коши:
,
где точка
расположена между x
и
.
Продолжим этот процесс для R"n(x),
,
R'''n(x),
и т.д., окончательно получим:
.
Итак,
,
откуда
(мы переобозначили
),
что и требовалось доказать.
Число
с
удобно записать в виде
,
где
,
тогда
.
Итак, формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид
Частный случай формулы Тейлора в случае x0 = 0 принято называть формулой Маклорена. Так, формула Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа такова:
7.8. Представление по формуле Маклорена
элементарных функций.
.
В этом случае
,
поэтому
,
0<<1.
2.
.
В этом случае все производные чётного
порядка равны
при
х
= 0, производные нечётного порядка:
при х
= 0, поэтому
,
где для
,
с учётом общего выражения для 2n-ой
производной функции
(см. раздел 6.11.1
производные высших порядков)
,
при i
= 2n
+1 получим
.Ниже
приведены графики, иллюстрирующие
приближение многочленов
к функциям
и
.
3.
.
Так же, как и для
,
получаем
,
где
.
4
.
.
Закономерность
понятна:
,
поэтому
где
.
…,
,
следовательно,
,
где
.
7.9. Применение формулы Тейлора для нахождения пределов
и приближённых вычислений.
7.9.1. Нахождение пределов с помощью формулы Тейлора. Рассмотрим примеры:
.
Так как в знаменателе стоит х5,
то при представлении функций, стоящих
в числителе, по формуле Маклорена, мы
должны брать многочлены не ниже пятой
степени:
;
(следующий член разложения имеет шестую
степень)
,
2.
.
Здесь мы в выкладках обязаны удерживать
члены до четвёртой степени:
поэтому
.
7.9.2.
Приближённые вычисления с помощью
формулы Тейлора.
В разделе 6.8.4
Применение дифференциала в приближённых
вычислениях
мы пользовались выражением у(x+х)
у(x)+
у'(x)
х,
которое, как теперь очевидно, содержит
два первых члена формулы Тейлора. Формула
Тейлора обобщает это выражение; она
позволяет проводить более точные
вычисления и оценивать точность этих
вычислений. Рассмотрим следующий пример:
требуется вычислить sin1
с погрешностью, не превышающей 0,00001.
Остаточный член в форме Лагранжа для
функции
имеет вид
,
следовательно
.
Подбором находим, что
,
следовательно, мы должны взять степени
х
вплоть до седьмой:
