5. Непрерывность функций.

5.1. Определение непрерывности функции в точке.

Опр.5.1.1. Пусть функция y = f(x) определена в точке х₀ и некоторой её окрестности. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если:

1. существует ;

2. этот предел равен значению функции в точке х₀: .

При определении предела подчёркивалось, что f(x) может быть неопределена в точке х₀, а если она определена в этой точке, то значение f(х₀) никак не участвует в определении предела. При определении непрерывности принципиально, что f(х₀) существует, и это значение должно быть равно . Переведём опр.5.1.1 на язык -:

Опр.5.1.2. Пусть функция y = f(x) определена в точке х₀ и некоторой её окрестности. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для 0 существует положительное число , такое что для всех х из -окрестности точки х₀ (т.е. если х- х₀ ) выполняется неравенство  f(x) - f(х₀) .

Здесь учитывается, что значение предела должно быть равно f(х₀), поэтому, по сравнению с определением предела, снято условие проколотости -окрестности 0х- х₀ .

Дадим ещё одно (равносильное предыдущим) определение в терминах приращений. Обозначим х=х - х₀, эту величину будем называть приращением аргумента. Так как х  х₀, то х0, т.е. х - БМ величина. Обозначим у = f(x) - f(х₀), эту величину будем называть приращением функции, так как |у| должно быть (при достаточно малых |х|) меньше произвольного числа 0, то у - тоже БМ величина, поэтому

Опр.5.1.3. Пусть функция y=f(x) определена в точке х₀ и некоторой её окрестности. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Ещё одно равносильное определение на языке последовательностей:

Опр.5.1.4. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любой последовательности точек области определения, сходящейся к х₀, последовательность соответствующих значений функции сходится к f(х₀):

.

Опр.5.1.5. Функция f(x) не являющаяся непрерывной в точке х₀, называется разрывной в этой точке.

Опр.5.1.6. Функция f(x) называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

5.2. Арифметические операции над непрерывными функциями.

Теор.5.2.1 о непрерывности суммы, произведения, частного. Пусть функции f(x), g(x) непрерывны в точке х₀. Тогда в этой точке непрерывны функции f(x)g(x), f(x)g(x), (частное - в случае, когда g(х₀)0).

Док-во непосредственно следует из теор.4.4.10 раздела 4.4.6 "Арифметические действия с пределами". Для примера докажем непрерывность частного. Пусть f(x), g(x) непрерывны в точке х₀, т.е. , , причём g(х₀)0. По теор.4.4.10 существует , и этот предел равен , что означает непрерывность функции в точке х₀.

Теор.5.2.2 о переходе к пределу под знаком непрерывной функции. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки t₀ и имеет , равный х₀. Пусть точка принадлежит области определения функции y = f(x), и f(x) непрерывна в точке х₀. Тогда существует , и .

Док-во. Возьмём 0. Так как f(x) непрерывна в точке х₀, то 0, такое что  х- х₀   f(x)- f(x₀). Так как существует = х₀, то для  0, такое что 0< t- t₀ 

  (t)- х₀. Таким образом, для 0 мы нашли такое 0, что из 0< t- t₀

  f(x)- f(x₀)=  f( (t))- f( ), что означает существование предела и равенство этого предела величине .

Теор.5.2.3 о непрерывности суперпозиции непрерывных функций. Пусть функция непрерывна в точке точке t₀. Пусть точка принадлежит области определения функции y = f(x), и f(x) непрерывна в точке х₀. Тогда сложная функция непрерывна в точке t₀.

Док-во непосредственно следует из предыдущей теоремы. Так как  (t) непрерывна в точке t₀, то . Поэтому , что и означает непрерывность сложной функции в точке t₀.