4.4.11. Бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно больших функций и связь с бесконечно малыми функциями.

В разделе 4.4.3 мы определили функции ББ, положительные ББ, отрицательные ББ и ввели обозначения : , , . Напомним одно из них.

Опр.4.4.8. f(x) при ха (ха+0, ха-0, х, х+, х-)   .

Теор. 4.4.11.1 о связи ББ и БМ функций. Пусть функции F(x) и (x) связаны соотношением F(x)= . F(x) - ББ тогда и только тогда, когда (x) -БМ.

Док-во. Необходимость. Пусть F(x) - ББ, докажем, что - БМ. Возьмём . По определению ББ, для М=1/ : 0<| x-a |<| F(x) |> М. Тогда , т.е. (x) удовлетворяет определению БМ.

Достаточность доказывается аналогично необходимости.

Итак, связь между ББ и БМ функциями достаточно простая. Поэтому кратко перечислим факты, относящиеся к сравнению ББ функций и аналогичные определениям и теоремам для БМ.

Опр. 4.4.11.1. Если - конечное число, отличное от нуля, то ББ функции F(х) и G(х) называются бесконечно большими одного порядка роста при ха.

Опр. 4.4.11.2. Если =0, то ББ G(х) называется бесконечно большой более высокого порядка по сравнению с F(х) (F(х) называется бесконечно большой низшего порядка по сравнению с G(х)). Обозначение: F(x) = o(G(x)).

Опр. 4.4.11.3. Если =1, то ББ G(х) и F(х) называются эквивалентными.

Теор. 4.4.11.2. (Необходимое и достаточное условие эквивалентности ББ). Для того, чтобы ББ функции F(х) и G(х) были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие F(х) - G(х) = о(F(х)) (или F(х) - G(х) = о(G(х)).