4.4.9. Сравнение бесконечно малых функций.

В предыдущем разделе введены определения, описывающие поведение при ха произвольных функций. Здесь мы уточним эти определения для случая бесконечно малых функций. Поведение БМ функций сравнивается, если существует конечный или бесконечный предел их отношения. Итак, пусть (х)0, (х)0 при ха и пусть  .

Опр. 4.4.9.1. Если - конечное число, отличное от нуля, то БМ функции (х) и (х) называются бесконечно малыми одного порядка.

Опр. 4.4.9.2. Если =0, то БМ (х) называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с (х) ((х) называется бесконечно малой низшего порядка по сравнению с (х)). Обозначение: (х) = о((х)).

Опр. 4.4.9.3. Если =1, то БМ (х) и (х) называются эквивалентными. Обозначение: (х)(х); если (х)(х), то (х)(х).

Эквивалентные БМ интенсивно используются и в теории, и при решении задач, поэтому докажем два утверждения об этих величинах.

Теор. 4.4.9.1. (Необходимое и достаточное условие эквивалентности БМ). Для того, чтобы БМ функции были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы их разность была БМ функцией высшего порядка по сравнению с каждой из них.

Док-во. Необходимость. (х)(х) =1 0 . Достаточность.   =1.

Теор. 4.4.9.2 о замене бесконечно малых на эквивалентные.

Пусть (х) ₁(х), (х)₁(х) - БМ функции. Тогда .

Док-во.

.

Опр. 4.4.9.4. Если при некотором k>0, то БМ (х) называется БМ

k-го порядка малости по сравнению с (х).

Если (х) - БМ к-го порядка по сравнению с (х), то (х)C(х)^k(х)=C(х)^k+o((x)), т.е. функция C(х)^k - главная часть функции (х). В этом случае также (х)=C(х)^k+o((х)^k).

При решении задач часто применяется следующее очевидное

Утверждение. Сумма конечного числа БМ функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

4.4.10. Таблица эквивалентных бесконечно малых.

Здесь мы с помощью рассмотренных в 4.4.7 пределов составим таблицу эквивалентных БМ функций и выпишем следующие из них выражения для главных частей (они подчёркнуты).

Эквивалентность при х0	Главная часть при х0
1. sin x  x	1. sin x = x+o(x)
2. 1 - cos x  x2/2	2. 1 - cos x = x2/2+o(x2)cos x = 1- x2/2+o(x2)
3. tg x  x	3. tg x = x+o(x)
4. arcsin x  x	4. arcsin x = x+o(x)
5. arctg x  x	5. arctg x = x+o(x)
6. ax-1  x ln a; ex-1  x	6. ax–1 = x ln a+o(x) ax = 1+ x ln a+o(x) ex –1 = x+o(x) ) ex = 1+ x +o(x)
7. loga (1+x)  x logae; ln(1+x)  x	7. loga (1+x) = x logae+o(x); ln(1+x) = x+o(x)
8. (1+x)a-1  a x	8. (1+x)a - 1 = a x+o(x) (1+x)a=1 + a x+o(x)
9. sh x  x	9. sh x = x+o(x)
10. ch x - 1  x2/2	10. ch x - 1= x2/2+o(x2) ch x = 1 + x2/2+o(x2)