4.4.7. Замечательные пределы.

4 .4.7.1. Первый замечательный предел. Так принято называть . Докажем, что он равен единице. 1. Докажем, что sin| x |.| x | (достаточно доказать это при х>0). Рассмотрим круг радиуса 1 с центром в точке О. В качестве переменной х будем брать центральный угол, отсчитываемый в радианах от радиуса ОА. Тогда длина дуги АВ =х, длина отрезка ВD =sin х, sin х< х (при х 0; перпендикуляр - кратчайшее расстояние от точки до прямой). 2. Сравним площади треугольников OBА, OCA и сектора OBA: S(тр.OBА)<S(сек.OBA)<S(тр.OCA). Выразим эти площади: (CA=tg x). Делим это выражение на : . Мы получили эти неравенства в предположении х>0, но вследствие четности входящих в них выражений они верны при любом знаке х. 3. Переворачиваем эти неравенства: . cos x1 при х0, предел правой части тоже равен 1, по теор. 3.4.5 о пределе промежуточной функции  .

Следствия: .

4.4.7.2. Второй замечательный предел. Изучая пределы последовательностей, мы доказали, что  . Распространим это доказательство на случай действительной переменной, докажем, что . Пусть n=E(x), тогда n x <n+1. Если x +, то и n, поэтому можем считать n >1. Из неравенства вследствие монотонного возрастания степенной функции с аргументом и степенью >1, получим . Предел правого члена при n равен числу е, предел левого тоже равен числу е. По теор. 4.4.6 о пределе промежуточной функции  , и он тоже равен числу е. Далее, , и снова применяя теор. 4.4.6 о пределе промежуточной функции, получаем, что существует и равен числу е.

Пусть теперь x -. Введём новую переменную y=-x-1,тогда x=-y-1, и y+ при x -. . Доказано, что односторонние пределы при x  существуют и равны(по теор. 4.4.1)  .

4.4.7.2.1. Эквивалентная форма второго замечательного предела: (сводится к предыдущему случаю заменой ).

4.4.7.3. Следствия из замечательных пределов. Рассмотрим еще несколько важных пределов.

4.4.7.3.1. . Док-во: .

4.4.7.3.2. . Док-во: . (Здесь мы пользуемся непрерывностью функции .) Следствие: 4.4.7.3.2.1. .

4.4.7.3.3. . Док-во: заменим переменную .

Следствие: 4.4.7.3.3.1. .

4.4.7.3.4. . Док-во: заменим переменную .

4.4.7.3.5.

4.4.7.3.6.

4.4.8. Сравнение поведения функций при ха. Главная часть функции.

Здесь мы определим символику, которая применяется в математической и технической литературе для сравнительного описания поведения функций вблизи предельной точки.

Определения. 4.4.8.1. f(x)g(x) (f(x) эквивалентна g(x)) при ха, если f(x)= s(x)g(x), где s(x)1 при ха. Если g(x)0 в окрестности точки а, то f(x)g(x), если =1.

В остальных определениях мы не будем писать ха, но это везде подразумевается. Всё, что будет рассматриваться, верно и в случаях ха-0, ха+0 и т.д. В скобках будут даваться равносильные определения для случая, когда g(x)0 в окрестности точки а.

4.4.8.2. f(x)=О(g(x)) (О большое от g(x)), если f(x)= s(x)g(x), где s(x) ограничена в некоторой окрестности точки а. (f(x)=О(g(x)), если отношение f(x)/g(x) ограничено в окрестности точки а.)

4.4.8.3. f(x)=о(g(x)) (О малое от g(x)), если f(x)= (x)g(x), где (x) - БМ функция. ( .)

4.4.8.4. f(x)=О(1) - функция, ограниченная в некоторой проколотой окрестности точки а.

4.4.8.5. f(x)=о(1) - БМ функция (f(x) 0 при ха.)

Перечислим ряд очевидных свойств введённых отношений (обязательно осмыслить!).

4.4.8.1. Если f(x)g(x), то g(x)f(x).

4.4.8.2. Если f(x)g(x), g(x)h(x), то f(x)h(x).

4.4.8.3. Если f(x)g(x), h(x)s(x), то f(x)h(x)g(x)s(x).

4.4.8.4. Если , то f(x)L.

4.4.8.5. Если f(x)=o(g(x)), то f(x)=O(g(x)).

4.4.8.6. Если f(x)g(x), то o(f(x))=o(g(x)).

4.4.8.7. O(O(f(x)))= O(f(x)); O(o(f(x)))= o(O(f(x)))= o(f(x)); o(o(f(x)))= o(f(x)).

4.4.8.8. g(x)(O(f(x)))= O(g(x)f(x)); g(x)(o(f(x)))= o(g(x)f(x)).

4.4.8.9. O(f(x)) O(f(x))= O(f ²(x)); O(f(x)) o(f(x))= o(f ²(x)); o(f(x)) o(f(x))= o(f ²(x)).

4.4.8.10. O(f(x))+O(f(x))= O(f(x)); O(f(x))+o(f(x))= O(f(x)); o(f(x))+o(f(x))= o(f(x)).

4.4.8.11. Из этих свойств и теоремы 4.4.10.2 о пределе разности функций следует:

f(x)g(x) f(x)-g(x)=о(f(x)); f(x)g(x) f(x)-g(x)=о(g(x)).

Условие f(x)g(x) f(x)-g(x)=о(g(x)) можно записать так: f(x)g(x) f(x)=g(x)+о(g(x)).

Опр. 4.4.8.6. Если функцию f(x) можно представить в виде f(x)=g(x)+о(g(x)), то функция g(x) называется главной частью функции f(x).