4.4.5. Бесконечно малые (бм) функции.
Опр. 4.4.10. Функция
f(x)
называется бесконечно малой при
хa,
если
.
БМ функции принято обозначать греческими буквами:(х), (х) и т.д, так и будем делать. Перевод определения на язык -:
(х) - БМ при хa { : 0<| x-a |<|(х)|<}.
БМ обладают всеми свойствами функций, имеющих предел. В этом разделе мы изучим специфические свойства БМ.
Теор. 4.4.7. Произведение БМ на ограниченную функцию - БМ функция.
Док-во. Пусть (х) - БМ при хa, f(x) ограничена в окрестности точки a. Требуется доказать, что (х) f(x) - БМ при хa. С>0: | f(x) |<C; 0 : 0<| x-a |<|(х)|</C
| (х) f(x)|<, т.е. (х) f(x) действительно БМ при хa.
Теор. 4.4.8. Алгебраическая сумма конечного числа БМ функций - БМ функция.
Док-во. Пусть (х), (х) - БМ при хa. Требуется доказать, что (х) (х) - БМ при хa. 0 1: 0<| x-a |<1|(х)|</2; 2: 0<| x-a |<2|(х)|</2. Если взять 0<| x-a |<min{2,1}=, то | (х) (х)| | (х) |+ | (х)| /2+/2=, т.е. (х) (х) действительно БМ при хa.
Следствие: Линейная комбинация БМ функций - БМ функция.
Докажем теорему, которой придётся часто пользоваться и которая, в основном, объясняет причину выделения БМ функций в отдельный класс:
Теор. 4.4.9 (о связи функции с её пределом). Для того, чтобы функция f(x) имела предел, равный b, при хa, необходимо и достаточно, чтобы f(x) представлялась в виде f(x)= b+(х) , где (х) - БМ при при хa.
Док-во.
Необходимость. Пусть 
.
Обозначим (х)=
f(x)
- b, докажем, что
(х) - БМ при
при хa.
По определению предела 0
:
0<| x-a
|<|
f(x)
- b |=|(х)|<,
т.е. (х)
удовлетворяет определению БМ.
Достаточность. Для доказательства достаточно прочитать доказательство необходимости в противоположном порядке.
4.4.6. Арифметические действия с пределами.
Теорема 4.4.10.
Пусть функции f(x),
g(x)
имеют предел при хa,
С=const. Тогда имеют пределы
функции С f(x),
f(x)g(x),
f(x)g(x),
( если
),
и
4.4.10.1.
;
4.4.10.2.
;
4.4.10.3.
;
4.4.10.4.
.
Док-во основано
на теор. 4.4.9 о связи функции с её
пределом. Пусть
,
f(x)=b1+(х),
g(x)=b2+(х),
где (х), (х)
- БМ. Тогда:
4.4.10.1. Сf(x)=Сb1+С(х);
С(х) - БМ по
теор. 4.4.7
.
4.4.10.2.
;
(х)(х)
- БМ
.
4.4.10.3.
.
Выражение в квадратных скобках - БМ
(теор. 4.4.3, 4.4.7, 4.4.8) 
.
4.4.10.4. Оценим
:
.
В числителе стоит БМ, функция
-
ограничена при
(почему?) 
.
С двумя функциями
можно произвести ещё следующие действия:
возвести f(x)
в степень g(x)
и взять их суперпозицию. Для степени
f(x)g(x)
оказывается, что если существуют конечные
,
,
то существует
,
это следствие непрерывности показательной
и логарифмической функций; и этот вопрос
будет рассмотрен ниже. Для суперпозиции
функций оказывается, что существование
пределов внешней и внутренней функций
недостаточно для существования предела
сложной функции. Более точно, если х=g(t)
имеет предел а при t
t0,
функция y=f(x)
имеет предел при x
а, то
может не существовать. Пример: пусть
.
Очевидно, 
.
Пусть
.
.
Для последовательности точек
;
если выбрать последовательность
,
не попадающую в эти точки, то
.
Две последовательности дают разные
пределы
не существует. Дальше мы увидим, что
существование предела сложной функции
обеспечивает непрерывность внешней
функции.