4.4.1.2. Предел функции на бесконечности.

Опр.4.4.3. Пусть область определения Х функции f(x) неограничена. Число b называется пределом функции при х, стремящемся к , если для любого числа >0 существует такое число K, что если хХ удовлетворяет условию | x |> K, то значение функции f(x) принадлежит -окрестности числа b.

Обозначения: ; f(x) b при x ; .

К раткая форма записи: .

Пример: докажем, что . при . Если взять  K> , то при | x |>K будет , что и требуется.

Задание. 1. Самостоятельно сформулировать определение на языке последовательностей. 2.Сформулировать условие отсутствия .

4.4.2. Односторонние пределы функции.

Опр.4.4.4. Число b называется пределом функции f(x) при ха справа (или правым, правосторонним пределом), если для любого числа >0 существует такое число , что если хХ удовлетворяет неравенству a < x<а +, то | f(x)-b |<.

Обозначения: ; f(x) b при x а+0; ; f(а+0).

Опр.4.4.5. Число b называется пределом функции f(x) при ха слева (или левым, левосторонним пределом), если для любого числа >0 существует такое число , что если хХ удовлетворяет неравенству a- < x<а, то | f(x)-b |<.

Обозначения: ; f(x) b при x а-0; ; f(а-0).

Односторонние пределы на бесконечности:

Опр.4.4.6. Число b называется пределом функции f(x) при х+, если для любого числа >0 существует такое число K, что если хХ удовлетворяет неравенству x>K, то | f(x)-b |<.

Обозначения: ; f(+).

Опр.4.4.7. Число b называется пределом функции f(x) при х-, если для любого числа >0 существует такое число K, что если хХ удовлетворяет неравенству x<K, то | f(x)-b |<.

Обозначения: ; f(-).

. Для примера рассмотрим функцию

В точке х=0 эта функция не определена; найдём односторонние пределы при х0. При х+0 (т.е. справа) (-1/х) -, е(-1/х)0, f(x) 2+3/4=11/4. При х-0 (т.е. слева) (-1/х) +, е(-1/х) +, 3/(4+ е(-1/х)) 0, f(x) 2. Таким образом

Найдем пределы этой функции при х. И при х-, и при х+ получим (-1/х) 0, е^(-1/х)1, f(x) 2+3/5=13/5.

Связь между пределом функции и односторонними пределами устанавливает

Теор. 4.4.1. Для того, чтобы существовал (или ), необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны односторонние пределы.

Док-во. Необходимость. Пусть  . Для 0 : 0<| x-a |< | f(x)-b |<. Но тогда | f(x)-b |< и при 0< x-a <(0< x< a +), и при -< x-a <0(a -< x<0), т.е. выполняются условия определений , , следовательно, оба односторонние предела существуют и равны между собой.

Достаточность. Пусть  ,  . Возьмём 0. Первый предел обеспечивает существование ₁: a< x < a +₁| f(x)-b |<. Аналогично второй предел обеспечивает существование ₂: a -₂< x<0| f(x)-b |<. Выберем <min{₁, ₂}. Тогда при 0<| x-a |< для x>a будет выполняться первое неравенство, для всех x<a - второе. В обоих случаях |f(x)-b |<, т.е.  , и этот предел равен числу b.

Задание 3. Самостоятельно сформулировать определение односторонних пределов на языке последовательностей. 4.Сформулировать условие отсутствия односторонних пределов.