4.3.3. Число е.

Здесь мы докажем существование числа, играющего исключительную роль в природе и математике - числа е. Это число определяется как .

Утв. 1. Последовательность возрастает с ростом n.

Док-во. По формуле бинома Ньютона

Эта сумма содержит ровно n+1 член. Если перейти от n к n+1, то количество слагаемых увеличится на 1 и каждое слагаемое возрастёт a_n+1>a_n.

Утв. 2. Последовательность ограничена.

Док-во. Оценим величину сверху. Каждое слагаемое в полученной сумме оценивается величиной . Тогда вся сумма

Итак, последовательность возрастает и ограниченаона имеет предел. Этот предел и определяет число е, , зашитое во все природные явления столь же фундаментально, как и число .

4.4. Предел функции одной переменной.

4.4.1. Предел функции.

В этом разделе мы изучим основное понятие математического анализа - предел функции. Все остальные объекты, которые встречаются в анализе (производная, интеграл и т.д.) определяются с помощью предела.

4.4.1.1. Определение предела функции в точке.

Опр.4.4.1. Пусть а - предельная точка области определения Х функции f(x). Число b называется пределом функции при х, стремящемся к а, если для любого числа >0 существует такое число  (вообще говоря, положительное и зависящее от ), что если хХ принадлежит также проколотой -окрестности точки а, то значение функции f(x) принадлежит -окрестности числа b.

Обозначения: ; f(x) b при x а; .

К раткая форма записи: .

Неравенство расписывается в виде двустороннего неравенства как или . Аналогично неравенство можно расписать как . Поэтому смысл определения предела таков: , если для любой наперед заданной степени близости значений f(x) к числу b мы в состоянии найти такую близость аргумента х к числу а, которая обеспечивает эту близость f(x) к b. Заметим, что в определении никак не участвует значение f(а) функции f(x) в точке а, в частности, f(а) не обязательно должно быть равным b; более того, f(x) может быть вообще не определена в точке а.

Рассмотрим два простых примера. Докажем, что 1. ; 2. (дальше мы увидим, что предел любой элементарной функции при стремлении х к любой точке области определения этой функции равен значению функции в предельной точке).

Возьмём >0. Требуется найти такое 0, что 0<| x-2 |<| x²-4 |<, т.е. | (x-2)(x+2) |<. Договоримся сразу брать <1, тогда из | x-2 |<2-<x<2+x<3x+2<5. Неравенство

| (x-2)(x+2) |< будет обеспечено, если . Таким образом, если в качестве  взять , то при | x-2 |<() получим |x+2|<5| (x-2)(x+2) |=| x-2 || x+2 |< *5=, что и требовалось.

Возьмём >0. Требуется найти такое 0, что 0<| x-/6 |<| sin x-1/2 |<

| sin x- sin(/6)|<  <.Так как , |sin |<|| при 0, то требуемое неравенство будет выполнено, если взять ()= (Тогда из <| x-/6 |<= ; , что и требовалось.

Более сложный пример-функция Дирихле

В любой окрестности любого вещественного числа а имеются и рациональные, и иррациональные точки, обеспечить одновременное выполнение неравенств | b-1 |< и | b-0 |< при <1/2 невозможно ни при каком значении b, следовательно, функция Дирихле не имеет предела ни при каком стремлении аргумента.

Рассмотрим ещё одно определение предела, эквивалентное предыдущему.

Опр.4.4.2. Пусть {x_n | x_nX, x_n a} - последовательность точек области определения функции f(x), сходящаяся к точке а. Если для любой такой последовательности {x_n} последовательность значений функции { f(x_n)} сходится к числу b, то b называется пределом f(x) при xа. (В МГТУ опр.3.4.1 принято называть определением Коши, опр.3.4.2 - определением Гейне).

Докажем эквивалентность определений 4.4.1 и 4.4.2.

Утв.1. Если в смысле опр. 4.4.1, то число b - предел f(x) при xа и в смысле опр. 4.4.2.

Док-во. Пусть {x_n} сходится к а, требуется доказать, что { f(x_n)} сходится к b, т.е. что для >0 N: n>N  | f(x_n)-b |< (в предположении, что выполняются условия опр. 4.4.1). Возьмём >0. : 0<| x-a |<  | f(x)-b |<. Так как x_nа при n , то  N: n>N  | x_n-a |<

|f(x_n)-b |<. Нужное N найдено.

Утв.2. Если в смысле опр. 4.4.2, то число b - предел f(x) при xа и в смысле опр. 4.4.1.

Док-во от противного. Мы предположим, что требования опр. 4.4.1 не выполняются, и построим последовательность {x_n}, сходящуюся к а, для которой { f(x_n)} не сходится к b. Если требования опр. 4.4.1 не выполняются, то >0, для которого в любой проколотой -окрестности точки а найдётся точка x, в которой | f(x)-b |>. Возьмём ₁=1.  x₁а: 0<| x₁-a |<₁, но | f(x₁)-b |>. Возьмём ₂<min{1/2, | x₁-a |}.  x₂: 0<| x₂-a |<₂, но |f(x₂)-b |>. Возьмём ₃<min{1/3, | x₂-a |}.  x₃: 0<| x₃-a |<₃, но |f(x₃)-b |>. Вообще на n-ом шаге возьмём _n<min{1/n,

|x_n-1-a |}.  x_n: 0<| x_n-a |<_n, но |f(x_n)-b |>, и т.д. Мы получили, что x_nа при n (так как

| x_n-a |<1/ n), но | f(x_n)-b|>, т.е. { f(x_n)} не сходится к b. Противоречие получено.

Рассмотрим ещё два примера.

( график этой функции приведен слева; х0). Докажем, что эта функция не имеет предела при х0. В каждой точке последовательности f(x_n)=0, в к аждой точке последовательности f(x_n)=1, разные последовательности дают разные пределы не существует.

5. Функция Римана

Как следует из графика, приведённого на стр.17, в любой -окрестности точки при < содержится не более чем конечное число значений функции, т.е. при рациональном значении аргумента х=а не существует. Если х=а иррационально, то вне любой -полосы |x|< лежит не более чем конечное число точек графика, т.е. .