1. Аксиомы действительных чисел.

Множество R={x,y,z,…} действительных чисел - множество мощности континуум, на котором определены две операции (сложение и умножение) и отношение упорядоченности ( ), удовлетворяющие аксиомам

I.1. x+y=y+x;

I.2. (x+y)+z=x+(y+z);

I.3. Существует такой элемент 0R, что 0+х=х для хR;

I.4. Для каждого элемента хR существует такой элемент - х, что х+(- х)=0;

II.1. xy=yx;

II.2. (xy)z=x(yz);

II.3. Существует такой элемент 1R, что 1х=х для хR;

II.4. Для каждого элемента х0, х R существует такой элемент х^-1R, что х х^-1=1;

III.1. x(y+z)=xy+xz;

IV.1. Отношение {( )( y  x)} эквивалентно отношению х=у;

IV.2. Для любых двух элементов хR, уR или ху, или ух;

IV.3. Из и yz следует хz;

IV.4. Из ху следует х+ z у+ z для любых х,у, z R;

IV.5. Из 0 х и 0 у следует 0 ху.

Отношение записывается также в форме ух. Отношение {( )( xy)} записывается в форме х<у.

V. Аксиома непрерывности: для любых элементов хR, уR таких, что х < у, существует элемент z R, такой что х< z < у.

VI. Аксиома Архимеда: для любых элементов хR, уR таких, что 0<х, 0<у, существует такое натуральное число n, что у nх;

VII. Аксиома о вложенных отрезках: если {[a_n, b_n]} - счётная последовательность отрезков, таких что a_n a_n+1 и b_n+1 b_n при n, то пересечение этой последовательности непусто, т.е.  хR: х[a_n, b_n] для n.

2. Модуль и основные неравенства.

x; x>0

х= 0; x=0

-x; x<0

|x|<h  -h<x<h |x|>h x>h

h>0 x<-h

1.  а,b  R: |ab|a|+|b|

2.  а,b  R: |a-b|||a|-|b||

3. Отрезки. Понятие окрестности.

x

Отрезок: [/////////] x

a b

Обозначается [a;b] ab

Частный случай отрезка точка

Или axb – в виде неравенства.

х

Интервал: (/////////) x – множество точек на числовой прямой.

a b

Обозначается ]a;b[ или в виде неравенства a<x<b

x

Полуинтервал: (/////////] x

a b

x

[/////////) x

a b

Обозначается: [a;b[ axb

]a;b] a<xb

Всё это числовые промежутки.

Замечание: один из концов ( а или b) может быть символом .

x

///////////////] x (-;b] или -<xb

b

x

///////////////) x (-;b[ или -<x<b

b

Вся числовая прямая – R=(-;+)

Определение: ε –окрестностью числа а называется множество чисел х удовлетворяющие неравенству

a-ε<x<a+ε  x-a< ε  (////////) x  О_ε(а)

ε>0 а-ε а а+ε

О_ε(а)={xR:x-a<ε}

Проколотая ε окрестность – О^_ε(а) это множество таких чисел включающих R, и отстаёт от точки на ε и не принадлежит а.

О^_ε(а)={xR:0<x-a<ε}

(////////) x

а-ε а а+ε

Правая ε полу окрестность точки а: О⁺_ε(а)={xR:ax<a+ε}

 ///////) x

a a+ε

Проколотая правая ε полу окрестность точки а: О^_ε(а)={xR:a<x<a+ε} Рисунок подобен предыдущему только с выколотой точкой а.

Левая ε полу окрестность точки а: O^-_ε(a)={xR:a-ε<xa}

(//////// x

a-ε a

Проколотая, левая ε полу окрестность точки а: О^-_ε(а)={xR:a-ε<x<a} Рисунок подобен предыдущему только с выколотой точкой а.

Можно рассматривать окрестности бесконечности:

О _ε(+)={xR:x>ε} (////////// x

ε>0 ε

О _ε(-)={xR:x<-ε} ///////////)  x

ε>0 -ε 0

О _ε()={xR:x>ε} \\\\\\) _ (////// x

x>ε;x<-ε -ε ε