2.6. Условие заданий 1 и 2. Решение типового варианта
Задание 1. Даны два комплексных числа и , например,
и
.
Найти действительную (Rez) и мнимую (Jmz) части комплексных чисел и ; построить и на комплексной плоскости.
Найти
,
,
,
.
Записать числа
и
в алгебраической, тригонометрической
и показательной формах.Вычислить
,
,
используя алгебраическую форму записи
чисел.Вычислить
и
в алгебраической , тригонометрической
и показательной формах.Найти
,
используя тригонометрическую форму
записи числа.Найти все значения корней
,
выразить их в алгебраической форме.
Построить значения корней на комплексной
плоскости.
Решение. Оба рассмотренных выше комплексных числа и не представлены в одной из общеприняты форм. Используя формулу (2.4) выразим их в алгебраической форме.
1)
.
Следовательно,
,
.
,
,
.
2) Изобразим и на комплексной плоскости , рис. 5.
Найдем модули комплексных чисел и :
,
.
Рис. 5
Из рис. 5 видно, что находится в III четверти, а - во II-ой.
По определению из (2.12) имеем
,
или
.
Найдем .
.
Запишем числа в тригонометрической форме:
,
;
в показательной форме:
,
.
3) Запишем и в алгебраической форме:
,
.
4) Вычислим и в алгебраической форме:
,
;
в тригонометрической форме:
,
;
в показательной форме:
,
.
5) Найдем , используя тригонометрическую форму записи числа:
.
6) Найдем все значения , используя тригонометрическую форму, и установим их значения в алгебраической форме. Для этого воспользуемся формулой (2.23).
В
нашем случае
;
;
;
;
.
Получим значения
,
,
,
,
,
,
,
.
Строим корни на комплексной плоскости, рис. 6.
Рис. 6
Итак,
корень 4-й степени из комплексного числа
имеет 4 различных значения, которые
располагаются в вершинах правильного
4-х угольника, вписанного в окружность
радиусом
с центром в точке
.
Варианты задания 1
Вариант 1.
а)
б)
Вариант 2.
а)
б)
Вариант 3.
а)
б)
Вариант 4.
а)
б)
Вариант 5.
а)
б)
Вариант 6.
а)
б)
Вариант 7.
а)
б)
Вариант 8.
а)
б)
Вариант 9.
а)
б)
Вариант 10.
а)
б)
Вариант 11.
а)
б)
Вариант 12.
а)
б)
Вариант 13.
а)
б)
Вариант 14.
а)
б)
Вариант 15.
а)
б)
Вариант 16.
а)
б)
Вариант 17.
а)
б)
Вариант 18.
а)
б)
Вариант 19.
а)
б)
Вариант 20.
а)
б)
Вариант 21.
а)
б)
Вариант 22.
а)
б)
Вариант 23.
а) б)
Вариант 24.
а)
б)
Вариант 25.
а)
б)
Вариант 26.
а)
б)
Вариант 27.
а)
б)
Вариант 28.
а)
б)
Вариант 29.
а)
б)
Вариант 30.
а)
б)
Задание 2. Вычислить значения приведенных выражений а); б).
Пример:
Вариант 1. Вариант 2. Вариант 3.
а)
а)
а)
б)
б)
б)
Вариант 4. Вариант 5. Вариант 6.
а)
а)
а)
б)
б)
б)
Вариант 7. Вариант 8. Вариант 9.
а)
а)
а)
б)
б)
б)
Вариант 10. Вариант 11. Вариант 12.
а)
а)
а)
б)
б)
б)
Вариант 13. Вариант 14. Вариант 15.
а)
а)
а)
б)
б)
б)
Вариант 16. Вариант 17. Вариант 18.
а)
а)
а)
б)
б)
б)
Вариант 19. Вариант 20. Вариант 21.
а)
а)
а)
б)
б)
б)
Вариант 22. Вариант 23. Вариант 24.
а)
а)
а)
б)
б)
б)
Вариант 25. Вариант 26. Вариант 27.
а)
а)
а)
б)
б)
б)
Вариант 28. Вариант 29. Вариант 30.
а)
а)
а)
б)
б)
б)
Задание 3.
Найти корни приведенных выражений а); б).
Пример:
а)
; б)
;
1)
Решение:
,
.
,
.
Ответ: ;
2)
Решение:
,
Запишем число
в тригонометрической
форме:
Тогда
,
,
,
,
Вариант 1 Вариант 2
а)
б)
а)
б)
Вариант 3 Вариант 4
а)
б)
а)
б)
Вариант 5 Вариант 6
а)
б)
а)
б)
Вариант 7 Вариант 8
а)
б)
а)
б)
Вариант 9 Вариант 10
а)
б)
а)
б)
Вариант 11 Вариант 12
а)
б)
а)
б)
Вариант 13 Вариант 14
а)
б)
а)
б)
Вариант 15 Вариант 16
а)
б)
а)
б)
Вариант 17 Вариант 18
а)
б)
а)
б)
Вариант 19 Вариант 20
а)
б)
а)
б)
Вариант 21 Вариант 22
а)
б)
а)
б)
Вариант 23 Вариант 24
а)
б)
а)
б)
Вариант 25 Вариант 26
а)
б)
а)
б)
Вариант 27 Вариант 28
а)
б)
а)
б)
Вариант 29 Вариант 30
а)
б)
а)
б)
