2.4.2. Возведение в натуральную степень n

Используем равенство (2.15) для возведения произвольного комплексного числа в натуральную степень n, принимая во внимание, что . (n раз).

Получим . (2.17)

Равенство (2.17) называется формулой Муавра (1707 г.)

Из формулы Муавра следует, что для возведения комплексного числа в любую натуральную степень необходимо его модуль возвести в эту степень, а аргумент умножить на показатель степени.

При формула (2.16) принимает вид

. (2.18)

Замечание. Если комплексное число задано в алгебраической форме, для возведения его в степень по формуле Муавра необходимо предварительно записать число в тригонометрической форме, найдя модуль и главный аргумент .

2.4.3. Извлечение корня натуральной степени

По общему определению число ω называется корнем степени n из числа z ( ), если .

Запишем комплексное число z и неизвестное значение его корней в тригонометрической форме:

, .

Применяя формулу (2.17), перепишем равенство в виде равенства двух комплексных чисел:

. (2.19)

Сравнивая модули и аргументы, получим

(2.20)

Первое равенство определяет единственное положительное значение

(2.21)

для модуля корня комплексного числа z (арифметический корень).

Из второго равенства (2.20) получаем бесконечное множество значений аргумента

, (2.22)

для нахождения которых можно принять , иначе, как доказано, будет повторение значений корня комплексного числа.

Таким образом, приходим к формуле

. (2.23)

Из полученной формулы или равенств (2.21), (2.22) следует, что корень n-ой степени из любого числа имеет n различных значений , , …, при одинаковом модуле и аргументах, отличающихся на слагаемое, кратное .

Поэтому при графическом изображении значений корней z на комплексной плоскости все они будут располагаться в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат. Например, для получим изображение, подобное представленному на рис. 4.

Если , все значения корня .

Рис. 4

Пример. Найти .

Алгебраическая форма комплексного числа, находящегося под корнем, имеет вид , , .

Приведем число тригонометрической форме: , главный аргумент (вектор z находится на оси Ох и направлен в противоположенном направлении).

Тригонометрическая форма числа z принимает вид:

.

Используя формулу (2.22), для рассматриваемого случая получим

, где .

Находим значения корня 6-й степени числа :

,

,

,

,

,

.

Нетрудно убедиться, что все значения корня располагаются в вершинах правильного шестиугольника, вписанного в окружность .

2.5. Формула Эйлера и показательная форма комплексного числа

Разрабатывая теорию элементарных функций комплексной переменной Леонард Эйлер ввел комплексную переменную в качестве наиболее общего понятия переменной величины. Им в 1748 г. была получена замечательная формула, впоследствии носящая его имя, которая устанавливает связь показательной комплексной функции с тригонометрическими функциями

, . (2.24)

Так как модуль , то при непрерывном изменении точка описывает на комплексной плоскости окружность радиуса с центром в начале координат. С помощью этой формулы можно возводить число е (основание натуральных логарифмов) в любую комплексную степень.

Справедливы равенства:

, , . (2.25)

Для произвольной комплексной переменной функция

. (2.26)

Используя формулу Эйлера (2.24) и тригонометрическую форму комплексного числа (2.13) можно записать равенство и получить показательную форму комплексного числа:

. (2.27)

Показательную форму комплексного числа целесообразно использовать при умножении, делении, возведении в степень.

Если и , то справедливы формулы:

(2.28)