2.3 Полярная система координат. Тригонометрическая формула комплексного числа

Совместим начало координат системы xOy с полюсом т. О и ось Ох с полярной осью p (рис.1) Введем в рассмотрение длину |z| вектора z{x,y} и угол φ, образованный вектором z с положительным направлением оси Ох. Этот угол называется аргументом комплексного числа и обозначается . Угол , если отсчет его производится против направления движения часовой стрелки, и , если по часовой стрелке. Очевидно, что для всякого комплексного числа справедливы формулы:

; ;

; ; ; (2.9)

где , .

При этом необходимо учитывать, что для любого комплексного числа его аргумент Аrgz при может иметь бесконечное множество значений, отличающихся одно от другого на слагаемое кратное . Поэтому условия равенства комплексных чисел заключается в том, что длины (модули) должны быть равны, а аргументы φ могут отличаться на величины, кратные .

Из множества значений Argz для практических расчетов выделяют одно, лежащее в интервале ,которое обозначают аrgz. Оно называется главным значением аргумента комплексного числа:

или . (2.10)

Очевидно , где . (2.11)

Для нахождения главного аргумента комплексного числа удобно использовать следующие формулы:

для точек z первой и второй четверти

комплексной плоскости,

для точек второй четверти, (2.12)

для точек третьей четверти.

Числа и углы является полярными координатами точки z, т.е. .

Используя алгебраическую форму и формулы (2.9) получим тригонометрическую форму комплексного числа

. (2.13)

В тригонометрическом виде комплексно-сопряженное число , т.к. , выражается формулой

(2.14)

Пример. Изобразить комплексные числа и на комплексной плоскости и записать их в тригонометрической форме.

Решение. Оба числа представлены в алгебраической форме. Изобразим эти числа на комплексной плоскости и определим сначала модули и и главные аргументы и (рис. 3).

Рис. 3

1. , .

Число или его вектор находятся в III четверти. Используя формулу (2.12) для этой четверти, имеем

, или .

Если воспользоваться положительным значением угла , показанным на рис. 3, тогда или . Тригонометрическая форма числа принимает вид:

или .

Подставив в последние формулы значения и , придем к исходной алгебраической форме этого числа .

2. , .

Число и его вектор находятся во II четверти. На основании формулы (2.12) получим

рад, или ;

или .

2.4. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме. Формула Муавра

Использование комплексных чисел в тригонометрической форме удобно при выполнении над ними действий умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня.

2.4.1. Умножение и деление

Пусть , .

Тогда .

Используя известные формулы и , окончательно получим:

. (2.15)

Доказано для любого числа сомножителей: при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме достаточно перемножить их модули, а аргументы сложить.

Так как , то подставляя в это выражение , и в тригонометрической форме и проводя соответствующие преобразования получим:

.

Формула принимает вид

. (2.16)

Для выполнения деления двух комплексных чисел в тригонометрической форме следует их модули разделить, а аргументы вычесть.