2. Различные формы представления комплексных чисел и операции над ними

Для каждого комплексного числа возможны три формы его представления: алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы. В зависимости от конкретного случая и проводимых операций над комплексными числами используется та или иная форма. При необходимости всегда возможен переход из одной формы комплексного числа в другую.

Рассмотрим каждую из этих форм отдельно.

2.1. Алгебраическая форма комплексного числа. Рациональные действия над комплексными числами

Множество, состоящее из выражений вида

, (2.1)

где , а - действительные числа, называется множеством комплексных чисел, представленных в алгебраической форме^*.

Числа х и y называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа и обозначаются , ; - мнимая единица ( i²= -1 ).

При комплексное число совпадает с действительным числом х; если , то имеем комплексное число , которое называется чисто мнимым. Отождествляя комплексные числа вида с действительными числами х, убеждаемся в том, что действительные числа являются частным случаем комплексных чисел z (подмножеством множества комплексных чисел , т.е. )

Два комплексных числа и считаются равными только в том случае, если их действительные и мнимые части соответственно равны:

, если и .

В противном случае . Отношений для комплексных чисел не существует.

Комплексное число равно нулю только в том случае, если равны нулю его действительная и мнимая части:

, если и .

Числа вида и , являющиеся корнями квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом ( , см. решение кубического уравнения ), называются комплексно-сопряженными числами.

* Общепринятой является u форма записи комплексного числа , где a и b – действительные числа, о чем говорилось ранее.

Операции сложения, вычитания, умножения и деления над комплексными числами и производятся как над алгебраическими двучленами, принимая во внимание, что :

1) ; (2.2)

2) . (2.3)

3) При делении комплексных чисел «уничтожается мнимость в знаменателе», для чего умножают числитель и знаменатель на число, комплексно-сопряженное знаменателю:

, где , (2.4)

или . (2.5)

Рассмотренные операции над комплексными числами обладают всеми свойствами соответствующих операций над действительными числами.

4) Сумма и произведение комплексно-сопряженных чисел и есть всегда действительное число, в чем нетрудно убедиться:

(2.6)

5) Для комплексных чисел остаются верными также алгебраические формулы сокращенного умножения:

(2.7)

Примеры.

1. .

2. .

2.2. Геометрическое изображение комплексных чисел в декартовой системе координат

Всякое комплексное число удобно изображать точкой на комплексной плоскости (рис. 1). Оси и прямоугольной декартовой системы координат на этой плоскости называются соответственно действительной и мнимой осями. Между точками плоскости и изображенными на ней комплексными числами существует взаимно однозначное соответствие.

Одновременно с этим каждая точка плоскости определяет вектор с началом в начале системы координат и концом в этой точке, проекции которого на оси координат будут соответственно х и y. Длина (модуль) этого вектора

. (2.8)

Действительные числа изображаются на комплексной плоскости точками (х, о) оси или векторами, параллельными этой оси, а число будет являться единичным вектором оси .

Действительные числа изображаются на комплексной плоскости точками (х, 0) оси или векторами, параллельными этой оси, а число будет являться единичным вектором оси .

Чисто мнимым числам будут соответствовать точки оси или векторы, параллельные этой оси. Число изображается точкой (0, 1) мнимой оси и одновременно являться единичным вектором оси . Любая пара комплексно-сопряженных чисел z и на комплексной плоскости изображается векторами и , симметричными действительной оси (рис. 1).

Векторы являются свободными векторами, поэтому их начало можно совмещать с любой точкой комплексной плоскости путем параллельного переноса. Сложение и вычитание комплексных чисел можно рассматривать как сложение и вычитание соответствующих векторов, совмещая их начало с точкой О (рис. 2).

Рис. 1 Рис. 2

С помощью комплексных чисел можно задавать различные множества точек комплексной плоскости , что используется при анализе различных функций комплексной переменной и графическом изображении области их определения.