1.1.12. Линейная зависимость и независимость

Определение. Система векторов a₁, a₂, . . . , a_n называется линейно зависимой, если существует равная нулю линейная комбинация

k₁a₁+k₂a₂+. . . +k_na_n = 0 (1.9)

этих векторов, в которой, по крайней мере, один из коэффициентов k₁, k₂, . . . , k_n отличен от нуля.

Теорема 1.1. Векторы a₁, a₂, . . . , a_n линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них линейно выражается через остальные.

Например, вектор а₃ = (3, 2, 3)^Т является линейной комбинацией векторов а₁ = (1, 0, 1), а₂ = (0, 0.5, 0) поскольку а₃ = 3а₁+4а₂, т. е. линейно зависим от (а₁, а₂).

Линейную зависимость можно определить по-другому – векторы (а₁, а₂, . . . , a_n, a_n+1) линейно зависимы, если нуль представим в виде их нетривиальной линейной комбинации, т. е. 3а₁+4а₂ –a₃=0. Иными словами, если система векторов содержит нуль - вектор, то она линейно зависима.

С геометрической точки зрения можно сказать, что два вектора линейно зависимы, если они лежат на одной прямой, проходящей через начало координат; три вектора линейно зависимы, если они лежат в одной плоскости, проходящей через начало координат.

С другой стороны, если только тогда, когда все коэффициенты k_i равны нулю, то a₁, a₂, . . . , a_n называются линейно независимыми, т. е. любая нетривиальная линейная комбинация векторов отлична от нуля.

Например, вектор а₄ = (1, 1, -1)^Т не представим линейной комбинацией а₁ и а₂ в силу чего система (а₁, а₂, а₄) оказывается линейно независимой. Линейная комбинация этих векторов обращается в нуль лишь только тогда, когда все ее коэффициенты равны нулю.

Пример 1.16. Показать, что трехмерные векторы а₁(1, 0, 0)^Т, а₂(0, 1, 0)^Т, а₃(0, 0, 1)^Т линейно независимы. В самом деле, равенство k₁a₁+ k₂a₂ + k₃a₃ = 0 равносильно трем равенствам:

,

а отсюда следует, что k₁ = k₂ = k₃ = 0.

Замечание 1. Система (1.9) является линейно независимой в том и только в том случае, когда ранг r этой системы равен числу n векторов в ней. В противоположном случае система линейно зависима.

Рангом произвольной системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов системы. Совокупность линейно независимых векторов системы, число которых равно ее рангу, принято называть базисом системы или базисом подпространства . Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен ее рангу, называется базисным минором этой матрицы.

Пример 1.17. Дана система векторов а₁ = (1, 2, 5)^Т, а₂ = (2, 4, 10)^Т, а₃ = (-1, -2, -5)^Т. Векторы системы пропорциональны друг другу. Следовательно, максимальное число линейно независимых векторов равно единице (r = 1), а за базис можно принять любой из векторов системы.

По аналогии с плоскостью и трехмерным пространством размерностью векторного пространства естественно назвать величину, совпадающую с максимальным числом линейно независимых векторов этого пространства. Таким образом, размерность евклидова пространства Еⁿ равняется n. Это обстоятельство послужило поводом для названия пространства n – мерным.

Размерность евклидова пространства Еⁿ равна n, так как одним из базисов является система единичных векторов:

е₁ = (1, 0, 0, . . . , 0, 0)

е₂ = (0, 1, 0, . . . , 0, 0)

. . . . .

е_n = (0, 0, 0, . . . , 0, 1)

Теорема 1.2. В n – мерном пространстве любые n+1 векторов линейно зависимы.

Доказательство. Зададим произвольную систему из n+1 векторов n – мерного пространства

а₁, а₂, . . . , a_n, a_n+1 (1.10)

Координаты каждого из векторов(1.10) располагаем в строку и нумеруем двумя индексами:

а₁ = (а₁₁, а₁₂, . . . , a_1n)

а₂ = (а₂₁, а₂₂, . . . , a_2n)

. . . . .

а_n+1 = (а_n+11, а_n+12, . . . , a_n+1n).

Составим матрицу из координат этих векторов:

Ее ранг не может превосходить числа n столбцов, т. е. r ≤ n. Следовательно, число n+1 векторов в системе (1.10) заведомо больше ранга r этой системы. Отсюда можно заключить, что система(1.10) линейно зависима.

Пример 1.18. Дана система трех векторов четырехмерного пространства. Требуется установить, является ли данная система линейно зависимой или нет.

а₁ = (1, 2, 1, 4),

а₂ = (0, 1, -1, 3),

а₃ = (2, 5, 1, 11).

Решение.

Составляем матрицу из координат заданных векторов:

.

Находим ее ранг. Для этого к третьему столбцу прибавляем второй, а из четвертого вычитаем утроенный второй. Получаем:

.

Далее, разделим третий столбец на 3, а четвертый на –2. Получим:

.

Удалим два последних столбца, так как они совпадают с первым. Находим, что:

.

Отсюда видно, что R(A) = 2.

Таким образом, ранг заданной системы векторов меньше числа векторов в этой системе, и значит, эта система линейно зависима. Действительно, легко проверить, что

а₃ = 2а₁+а₂.

Необходимым и достаточным условием линейной независимости векторов является отличие определителя Грамма от нуля, т. е. Det(Г) ≠ 0. Определитель Грамма образуется из скалярных произведений векторов а₁, а₂, . . . , а_n следующим образом:

В п. 1.1.7. показано, что матрицы, определитель которых отличен от нуля, называются невырожденными (неособенными или несингулярными). Строки и столбцы таких матриц образуют совокупность линейно независимых векторов.

Пример 1.19. Определить линейную зависимость или независимость векторов следующей системы уравнений:

3x₁+x₂+2x₃+ x₄-2x₅ = 5

6x₁+x₂+3x₃+2x₄-4x₅ = 9

10x₁+x₂+6x₃+3x₄-7x₅ = 14

x₁ 0, x₂ 0, x₃ 0, x₄ 0, x₅ 0.

Возьмем три произвольных вектора – столбца системы уравнений, например, три первых. Исследуем эту подсистему на линейную независимость. При этом будем исходить из следствия: если некоторая подсистема векторов линейно зависима (независима), то и вся система векторов линейно зависима (независима). Для этого посчитаем определитель

Так как определитель отличается от нуля, то векторы линейно независимы.