2. Матрицы

Переход от одной скалярной величины к упорядоченному списку величин отражается понятием «вектор». Еще один шаг обобщения в том же направлении приводит к понятию «матрица». Это – результат двойного упорядочения набора чисел.

Как и в случае с векторами, обычная форма записи матриц опирается на стандартный порядок чтения текстов – сверху вниз и слева направо; двум направлениям записи элементов отвечают два типа их упорядочения. «Первый» элемент матрицы располагается в верхнем левом углу записи. «Первый» тип упорядочения соответствует записи сверху вниз и выделяет «строки» матрицы, в каждой из которых содержится одно и то же количество скалярных элементов. Число строк называют строковой размерностью. «Второй» тип упорядочения отвечает правилу чтения слева направо и выделяет столбцы матрицы. Их число называется столбцовой размерностью.

Матрицы впредь будут обозначаться заглавными латинскими буквами(A, B, . . . , W). Ссылку на одиночный элемент матрицы принято задавать ее именем (соответствующей малой или заглавной буквой) с двумя нижними индексами, первый из которых есть индекс строки, а второй – столбца. Таким образом, через А_ij или а_ij обозначают элемент, стоящий в матрице А, на пересечении строки i и столбца j.

Итак, матрица порядка m n – это прямоугольная таблица чисел (элементов матрицы), у которой первый индекс i (индекс строки) пробегает значения от 1 до m, а второй индекс j (индекс столбца) пробегает от 1 до n. Имеем

A = .

Часто используется запись А = ||a_ij|| или А = [а_ij], которая показывает, что элементами матрицы А являются числа а_ij.

Матрицу m n можно рассматривать как составленную из m вектор – строк с n компонентами или из n вектор – столбцов, каждый из которых имеет m компонент. Обычно строку матрицы обозначают А_i, а столбец А_j.

Матрица порядка 1 n есть просто вектор – строка размерности n, а матрица порядка m 1 – это вектор – столбец размерности m, т. е. вектор – столбец – частный случай матрицы со столбцовой размерностью, равной единице.

Равенство между двумя матрицами означает равенство между любыми их соответственными элементами. Оно предполагает совпадение строковых и столбцовых размерностей сравниваемых матриц, т. е. а_ij = b_ij.

Элементы а_ii матрицы А называются диагональными, а все остальные элементы – внедиагональными. Элементы а_ij , для которых j > i принято называть наддиагональными, а те, для которых j < i – поддиагональными.

2. Специальные матрицы

Матрицы порядка nxn называется квадратной. У нее число строк и столбцов совпадает. Диагональ квадратной матрицы, составленная из элементов а₁₁, а₂₂, . . . , а_nn называется главной диагональю. Сумма этих элементов называется следом матрицы и обозначается S_p(t_r).

Квадратная матрица называется верхней (или правой) треугольной, если все ее поддиагональные элементы – нули, т. е.

а_ij = 0,

если j < i. Верхние треугольные матрицы обычно обозначают буквами R или U.

Например,

R = .

Если речь идет о матрице имеющей больше столбцов, чем строк, говорят, что она является верхней трапециевидной. Например,

T = .

Аналогично вводятся понятия нижняя треугольная и нижняя трапециевидная матрицы. Это матрицы, элемент которых l_ij = 0, если j > i. Нижнюю треугольную матрицу обычно обозначают через L.

Транспонированной называют матрицу, которая получится из исходной, если заменить ее столбцы строками с сохранением порядка нумерации, т. е. первый столбец становится первой строкой и т. д. Матрица, транспонированная к А, обозначается через А^Т и определяется следующим равенством: (А^Т)_ij=A_ij. Например, транспонирование матрицы

A =

дает матрицу

A^T= .

Двукратное применение транспонирования не изменяет матрицы, т. е. (А^Т)^Т = А.

Матрицы, совпадающие со своей транспонированной, называют симметрическими. Для них справедливо соотношение:

А^Т = А.

Это означает, во-первых, что А − квадратная матрица, во-вторых, что при всех i и j выполняется равенство a_ij = a_ji.

Пример 1.3. .

Матрица называется кососимметрической, если А = −А^Т.

Пример 1.4. .

Квадратная матрица А называется ортогональной, если каждый вектор – столбец в А нормализован и ортогонален к любому другому ее вектору – столбцу, так, что

А^ТА = I.

Пример 1.5. .

Единичной матрицей называется квадратная матрица, у которой все элементы на главной диагонали равны единицы, а все прочие элементы равны нулю. Имеем

I_{n x n}= _ij,

где _ij = 1, i = j, b_ij = 0, i  j; i,j = 1, 2 , . . . , n.

Пример 1.6.

.

Если А есть mхn матрица, то AI_n = A и I_mA = A. Если А квадратная матрица, то, очевидно, АI = А. Столбец единичной матрицы с номером i обозначается через e_i.

Диагональной матрицей называется такая квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю. Такие матрицы обычно обозначаются буквой D. Имеем

D_nхn= (d_ij); d_ij = 0 ,

если i ≠ j; i,j = 1, 2, . . . , n.

Пример 1.7.

D = , D = .

Диагональную матрицу удобно задавать списком ее диагональных элементов. Для этого используется следующая форма записи:

D = diag (d₁, d₂, . . . , d_n).

Блочно – диагональная матрица – это матрица, которую можно разбить на подматрицы таким образом, чтобы вне ее «главной диагонали» стояли нулевые матрицы.

A= .