1.1.6. Определитель (детерминант) матрицы

Введем вначале несколько понятий. Перестановка – упорядоченная последовательность различных целых чисел (i₁, i₂,…, i_n). Беспорядком (инверсией) в перестановке назовем событие, когда большее число стоит перед меньшим. Образуют инверсии следующие пары чисел 3214=3 (3 и 2; 3 и 1; 2 и 1); 2431=4.

Транспозицией назовем операцию, состоящую в том, что два числа в перестановке меняются местами. Все перестановки можно разделить на четные и нечетные в зависимости от четности или нечетности числа транспозиций, которые необходимо произвести для того, чтобы привести ее к виду (1, 2, . . . . , n).

Определителем квадратной матрицы порядка n называется алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых является произведением n элементов, взятых по одному элементу из каждой строки и из каждого столбца с определенным знаком

где sign(i₁, . . . , i_n) равен +1, если перестановка (i₁, . . . , i_n) четная, или –1, если эта перестановка нечетная; а₁, а₂, . . . член определителя.

Для матрицы

определитель будет равен

(1.6)

где в скобках указаны перестановки.

Имеем также |I| = 1, |0| = 0, |A| = |A^T|, |AB| = |BA|.

7. Главный минор и ранг матрицы

Если А – матрица порядка n n, то ее главный минор (M(i, j)) порядка k есть подматрица порядка k k, полученная путем исключения из матрицы А произвольных n-k строк (i) и соответствующих этим строкам столбцов (j), т. е. строк и столбцов с одинаковыми номерами. Например,

.

Главными минорами порядка 1 являются диагональные элементы 1, 5 и 9. Главные миноры порядка 2 представляют собой следующие матрицы порядка (2∙2):

.

Главным минором порядка 3 является сама матрица А. Если удаляются строки и столбцы с некоторого до n, то главный минор называется угловым. Например, − сам определитель.

Определитель главного минора называется главным определителем. Общее количество главных определителей для квадратной матрицы порядка nхn равно 2ⁿ-1.

Ведущий главный минор порядка k матрицы порядка n n строится путем исключения последних n-k строк и соответствующих этим строкам столбцов. В примере ведущий главный минор порядка 1 равен 1 (следует исключить последние две строки и два столбца). Ведущий главный минор порядка 2 есть матрица , а ведущий главный минор порядка 3 – сама матрица А. Количество ведущих главных определителей матрицы порядка n n равно n.

Выделим в определителе (1.6) некоторый элемент a_ij. Соберем в сумме все члены определителя, в которые в качестве множителя входит выделенный нами элемент a_ij и вынесем его за скобки. Оставшееся в скобках выражение обозначается через A_ij и называется алгебраическим дополнением элемента a_ij в определителе D.

Пусть роль элемента а_ij играет, например, элемент а₂₃. Его алгебраическим дополнением является выражение А₂₃ = а₁₂а₃₁-а₁₁а₃₂.

Таким же путем можно найти алгебраические дополнения остальных элементов определителя:

D = а₁₃А₁₃+а₂₃А₂₃+а₃₃А₃₃

В общем виде алгебраическое дополнение элемента с индексом (i, j) будет иметь вид

А_ij = (-1)^i+jM_ij, i, j = 1, 2, . . . , n (1.7)

С учетом (1.7) можно сказать, что определитель матрицы является разложением по алгебраическим дополнениям

, j = 1, 2, . . . , n (разложение по столбцу)

, i = 1, 2, . . . , n (разложение по строке)

Если А – матрица порядка nхn, то

,

где М_i1 представляет собой подматрицу матрицы А, полученную путем исключения строки i и столбца 1. Например, если

, то

Определитель равен сумме произведений всех элементов любого из его столбцов на их алгебраические дополнения. Порядок наибольшего отличного от нуля минора данной матрицы называется рангом R(A).

R(A) ≤ min(m, n).

Рангом квадратной матрицы А называют наибольший порядок не обращающегося в ноль минора этой матрицы.

Матрица называется невырожденной (неособенной или несингулярной), если R(A) = n , т. е. Det(A) ≠ 0. Матрица называется вырожденной, если Det(A) = 0.