2. Норма матрицы

Норма матрицы, это некоторая скалярная функция, обладающая тремя свойствами:

1^o) ||A|| 0 для любой матрицы А и ||A|| = 0 в том и только в том случае, если А – нулевая матрица, А = 0_mn;

2^o) ||bA|| = |b| ||A||;

3^o) ||A+B|| ||A||+||B||.

Поскольку матрицы можно перемножать, целесообразно подчинить матричную норму еще одному условию, а именно потребовать, чтобы

4^o) ||AB|| ≤ ||A|| ||B||.

Матричные нормы удобно определять через векторные. Для этого, задавшись какой-нибудь векторной нормой ||·||, рассмотрим для матрицы А значения ||Ax|| при всевозможных х, удовлетворяющих равенству ||x|| = 1. Среди них обязательно найдется максимальное. Его и возьмем в качестве нормы матрицы А. Тогда матричную норму принято называть индуцированной или подчиненной векторной. Итак, ||A|| можно определять по формуле:

где справа стоят векторные нормы и максимум достигается при каком-то (или каких-то) х.

Три нормы mхn – матрицы А, подчиненные трем введенным ранее векторным нормам, таковы:

• – максимум суммы модулей элементов в столбце;

• ||A₂||=(k_max[A^TA])^0.5 – квадратный корень максимального собственного значения симметрической матрицы А^ТА; в частности, если А – квадратная матрица nхn с собственными значениями k₁, k₂, . . . , k_n , то – максимум суммы модулей элементов в столбце;

• – максимум суммы модулей элементов в строке.

Квадратичную норму ||A||₂ иногда называют еще спектральной нормой матрицы. Спектральным радиусом S(A) квадратной матрицы А называется наибольший из модулей собственных значений матрицы А. Из свойства (2^o) с учетом свойств норм получим:

|k|||x|| ≤ ||A||·||x||.

Помимо трех рассмотренных часто используется норма Фробениуса ||·|_F , которая не подчинена векторной. Она возникает, если интерпретировать mхn – матрицу А как вектор с mх∙n компонентами, и представляет собой его евклидову норму:

Векторная норма ||·|| и матричная норма ||·||^' называются согласованными, если для любых А и х выполняется неравенство

||Ax||≤||A||^' ||x||.

Евклидова векторная форма и матричная норма Фробениуса являются согласованными.

2. Операции над векторами и матрицами

Подобно тому, как векторы и матрицы представляют собой упорядоченные совокупности скалярных величин, операции над векторами и матрицами являются упорядоченными совокупностями скалярных операций.

Простейшая операция – умножение матрицы (или вектора) на число. Например,

_{; .}

Следующая операция – сложение двух матриц или векторов. Она опирается на обычную операцию скалярного сложения. Операция сложения определена для матриц одного и того же порядка. Суммой А+В матриц А и В называется матрица с элементами a_ij+b_ij.

Например, операция сложения в векторном случае:

.

Вводится нулевая матрица (или нуль матрица) порядка mxn , у которой все элементы равны нулю. Она обозначается символом О. Легко убедиться, что сложение матриц (векторов) обладает теми же свойствами, что и сложение скаляров, а именно:

ассоциативности: А+(В+С) = (А+В)+С;

коммутативности: А+В = В+А;

А+(-1)А = 0; 0А = А; 1А = А; k(A+B) = kA+kB; (k+m)A = kA+mA; k(mA) = kmA.

Для двух векторов а и b одинаковой размерности n в п.1.1. введено понятие скалярного произведения, величина которого  определяется равенством

=a₁b₁+a₂b₂+. . .+a_nb_n =

Обозначим это выражение через a^Tb . В операции вычисления скалярного произведения сохраняются два следующих свойства скалярного произведения :

• коммутативность: a^Tb = b^Ta;

• дистрибутивность по векторному сложению : а^Т(b+c) = a^Tb+a^Tc.

Скалярное произведение двух ненулевых векторов может быть нулем, в то время как перемножение двух ненулевых чисел всегда дает ненулевой результат. Например, а = (1, -1 , 2)^Т, b = получим a^Tb = 1+1-2=0.

Когда a^Tb = 0, говорят, что векторы а и b ортогональны друг другу. В силу свойства дистрибутивности можно утверждать, что (a-b)^Tc = 0, т. е. разность a-b ортогональна с.

Понятие ортогональности позволяет определить нулевой вектор как вектор, ортогональный всем векторам.

Введем понятие нуль – пространства матрицы. Нуль – пространством N(A) матрицы A называется множество

N(A) = {х| Ах = 0, х Еⁿ}.

Связь между областью значений х и N (A) может быть выражена с помощью ортогонального дополнения . Это множество таких векторов b, для каждого из которых a^Tb = 0 при любом а из Ē, т. е. векторов ортогональных всем а из Ē. Когда Ē определяется как подпространство, натянутое на векторы {а₁, а₂, . . . , а_r}, его ортогональное дополнение называют также нуль – пространством системы {а₁, а₂, . . . , а_r}.

Обобщением операции взятия скалярного произведения векторов является операция перемножения матриц. Произведение двух матриц А и В имеет смысл, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Последовательность сомножителей здесь является важным фактором. В матричном произведении А∙В матрицу А называют левым множителем В и говорят об умножении В на А слева. В результате каждый столбец В определяет соответствующий столбец произведения, так, что, например, изменение первого столбца В приведет к изменению только первого столбца А∙В. Аналогично матрицу В называют правым сомножителем А и говорят об умножении А на В справа. При умножении справа независимо преобразуются строки умножаемой матрицы, так что изменение в i–ой строке А повлечет за собой изменение только в i–ой строке АВ.

Результат умножения А на В, т. е. элемент (i, j) матрицы С = А∙В, равен С_ij = A_iB^j. Другими словами, (i, j)-й элемент произведения А∙В равен скалярному произведению i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В. На число строк А и число столбцов В ограничений нет.

Правило умножения матриц можно записать так : А – матрица mхk; В – матрица kхn; С = А∙В имеет порядок mхn. Произведение имеет смысл, если внутренние индексы равны.

Пример 1.8.

В данном примере имеет смысл и произведение В∙С, но результатом будет матрица порядка 3·2.

Легко проверить следующие соотношения для матриц соответствующего порядка:

• дистрибутивность по матричному сложению: (А+В)С = АС+ВС;

• ассоциативность: А(ВС) = (АВ)С; А(kВ) = kАВ.

Итак, умножение матриц ассоциативно и дистрибутивно, но в общем случае не коммутативно, т. е. АВ ≠ ВА.

Матрицы, для которых АВ = ВА, называются коммутирующими (или коммутативны).

Для матрицы А и ее транспонированной всегда существует произведения АА^Т и А^ТА (но они не равны). Нетрудно убедиться (АВ)^Т = В^ТА^Т.

Если А – матрица порядка m n, а х – вектор – столбец размерности n , то последний можно рассматривать как матрицу порядка m∙1, т. е. столбцом размерности m.

Пример 1.9. A_2x3 x_3x1

Y_2x1 = A∙ x = .

Если имеем вектор – строку и вектор – столбец размерности n, то их можно трактовать как матрицы порядка 1∙n и n∙1 соответственно. Тогда формально определено произведение, которое совпадает со скалярным произведением двух векторов. Результатом будет матрица порядка , т. е. скаляр.