5. Історична довідка
Позиційну десяткову систему числення впровадили індійські учені. З Індії ця система числення поширилась в інші країни. До Європи індійські цифри потрапили у 10-13 століттяж від арабів. Завдяки цьому цифри сучасної десяткової системи числення називають “арабськими”.
Подібно до десяткової системи числення будуються двійкова, трійкова та інші позиційні системи числення. Наприклад, у позиційній двійковій системі числення, яка покладена в основу побудоаи комп’ютерів, є дві цифри:0, 1. У цій системі числення кожні дві одиниці деякого розряду дають одну одиницю наступного за ним вищого розряду. Тому число 2 записується як 10; 3 – як 11; 4- як 100; 5 – як 101; 6 – як 110 і т.д.
Крім позиційних систем числення, є і непозиційні. Римська нумерація – приклад непозиційної системи числення. Вона виникла біля 500р. до н.е. і широко використовувалась у Стародавньому Римі. Вона ж використовується в наш час для нумерації століть, розділів у книжках та інших потребах науки.
Для запису натуральних чисел у цій системі числення використовують сім знаків (римських цифр), які в позиційній десятковій системі числення відповідають таким числам:
І V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000
Інші числа в римській нумерації записуються з використанням римських цифр за принципом додавання і віднімання. Наприклад, число СХХІV позначає “100+10+10-1+5”, тобто 124.
Для “розшифрування” запису числа, записаного римськими цифрами, використовують такі правила:
значення останньої цифри (самої правої) завжди додають;
значення іншої цифри додають, якщо після неї стоїть така ж або менша за значенням цифра, і віднімають, якщо після неї стоїть більша за значенням цифра.
Наприклад. VI=5+1=6;
XII=10+1+1=12;
XLI=50-10+1=41.
У римській нумерації не вистачає цифр для запису великих чисел. Крім того, вона зовсім не пристолсована до письмового виконання дій. Тому використовується рідко.
Непозиційними системами числення користувалися також слов’янські народи. Починаючи з Х століття наші предки використовували алфавітне позначення цифр. Ставлячи над буквами алфавіту спеціальний знак – титло, отримували цифри.
Наприклад,
1 2 3 4 5 6 10 20 100
Число
123 записували
.
Число 10000 позначали симводом @ і називали “тьма”. У свій час це число вважали дуже великим. Якщо кількість предметів перевищувала 10000, казали, цих предметів “тьма”.
Після ознойомлення з римською нумерацією слід зіставити її з десятковою, щоб ще раз відзначити суть позиційного принципу і показати переваги нашої нумерації. Зручно це зробити, зіставляючи такі два записи одногой того самого числа: LXXXVIII і 88. Зіставлення цих двох записів одного числа наочно переконує, що римська нумерація не є позиційною, бо значення цифри (знака) не залежить від місця, яке вона займає. Цей запис показує відмінність двох різних понять: число і цифра.
6. Дії над натуралальними числами
У 5-ому класі увагу учнів треба зосередити на:
питаннях теоретичного обгрунтування правил виконання дій над натуральними числами;
розв’язуванні складніших комбінованих вправ;
раціоналізації обчислень;
розв’язуванні складніших текстових задач;
удосконаленню навичок усних обчислень.
Для тих учнів, у кого є прогалини в знаннях і навичках, основну увагу зосередити на виробленні міцних навичок виконання дій.
Щоб ефективно здійснювати диференціацію навчання, вчителю слід провести діагностику знань, навичок та умінь учнів. На початковому та середньому рівнях навчальних досягнень не варто вимагати від учнів теоретичного обгрунтування дій на основі їх законів, знань про розряди та властивості десяткової системи числення.
Важливою умовою є дотримання наступності початкової школи.
Повторення кожної з чотирьох дій доцільно починати із задач практичного змісту, що дасть змогу забезпечити мотивацію навчання.
При систематичному повторенні арифметичних дій звичайно починають з означення цих дій. Спірним у методичній літературі є означення дії додавання.ще в дореволюційній методичній літературі зазначалось на те, що жодне з означень діїї додавання, яке було у шкільних підручниках, не можна вважати логічним означееням.
І.К. Андронов і В.М. Брадіс спробували подати означення дії додавання на базі поняття об’єднання скінчених множин. За цим означенням спочатку дається означення доданків, суми й лише потім – означення дії додавання як дії знаходження суми доданків. Оскільки чинна програма не передбачає вивчення в школі операцій над множинами, такий варіант прийняти не можна.