3. Мета вивчення теми ”Натуральні числа”.

Вимоги до знань та вмінь.

Основні відомості про натуральні числа та дії над ними учні дістають у початковій школі. Там передбачено навчитися читати, записувати, порівнювати в межах мільйонів, виконувати нескладні усні та письмові обчислення (додавання і віднімання чисел в межах мільйона, множення дво-, трицифрових чисел на одно-, дво-, трицифрове число, ділення три-, чотири-, п’ятицифрового числа на одно- і двоцифрове числа).

У 5-ому класі відомості про натуральні числа повторюються, систематизуються, поглиблюються, уточнюються і розширюються в таких основних напрямках:

1. поглиблення знань учнів про нумерацію багатоцифрових чисел;

2. розкриття ролі нуля як числа та дії натуральних чисел з нулем;

3. систематизація відомостей про чотири арифметичні дії, про зв’язок між прямими та оберненими діями, формування умінь виконання дій над багатоцифровими числами;

4. узагальнення знань учнів про закони арифметичних дій і застосування їх до раціоналізації обчислень.

У результаті вивчення теми усі учні повинні оволодіти знаннями та вміннями,початковий та середній рівні навчальних досягнень:

• мати уявлення про натуральні числа та нуль;

• читати, записувати, порівнювати натуральні числа;

• виконувати усно арифметичні дії в межах складності прикладів на додавання і віднімання двоцифрових чисел, множення і ділення (без остачі) двоцифрового на одноцифрове;

• виконувати письмово чотири арифметичні дії над натуральними числами, в запису яких є кілька десяткових розрядів;

• розв’язувати текстові задачі за допомогою арифметичних прийомів, у яких використовуються дії над натуральними числами.

Таким чином, матеріал розділу “Натуральні числа” є своєрідним фундаментом, на якому будується курс єдиної математики, що вивчається у 5-6 класах.

Важливим у розділі “Натуральні числа” є поняття шкала, яка використовується як засіб вимірювання чисел, ілюстрації дій над ними. Розглядаючи нескінченну шкалу, ми підводимо учнів до поняття координатного променя – променя, який має точку відліку – початок променя, і певний маштаб – одиничний відрізок.

Слід застерегти від неправомірної заміни поняття “координатний промінь” і “числовий промінь”. Поняття числової прямої, числового променя з’являється лише після введення дійсних чисел.

4. Натуральні числа. Читання і запис багатоцифрових чисел.

Поняття “натуральне число” належить до первісних, неозначуваних понять. У вищій алгебрі зміст цього поняття розкривається через систему аксіом Пеано. У теорії множин натуральне число означається як потужність скінченої множини. У шкільних підручниках формулюється таке твердження: “Числа, що використовуються для лічби предметів, називаються натуральними”. Слід зауважити, що це не є означення, бо в ньому йдеться про термін “натуральні числа”, а не про зміст цього поняття.

На розгляд питань нумерації відводиться лише два уроки, тому їхтреба використати ефективно. Під нумерацією розуміють спосіб читання (усна нумерація), записування (письмова нумерація) чисел. Не можна отожнювати “нумерацію” з “системою числення”.

Дальше застосування відомостей про нумерацію потребує, щоб учні правильно вживали слова-терміни: “цифра” і “число”, уміли читати і записувати будь-яке число у межах мільярдів, розуміли позиційний принцип десяткової нумерації, уміли записувати число як суму розрядних доданків. У зв’язку з цим є нагода коротко розповісти на уроці про інші системи числення, зокрема про римську, та інші нумерації. Слід повторити основну властивість десяткової системи числення, що виражає співвідношення між розрядними одиницями. Треба приділяти достатню увагу з’ясування позиційного принципу десяткової системи числення та її переваг над непозиційними системами.

Для повторення усної та письмової нумерацій використовують таблиці розрядних одиниць та одиниць класів.

Доцільно дати учням орієнтир щодо назви класів. Назви класів визначаються назвою розряду, в якому стоїть остання цифра класу.

Розглянемо иетодику проведення перших уроків з повторення та систематизації знань про натуральні числа. Наприклад. Урок, на якому встановлюються властивості десяткової системи числення, можна побудувати таким чином. Вчитель звертається до учнів класу із запитанням: “Як записують натуральні числа? Що спільного між буквами і цифрами? Ш букви і цифри – це знаки для записів. Буквами записують слова, цифрами – числа.”

Отже, цифри – це знаки , за допомогою яких записують числа.

Спосіб запису чисел називають нумерацією, або по-іншому системою числення. Наша нумерація зручна не тільки тим, що можна швидко записувати числа, але й за її допомогою легко виконуються дії над числами і виявляються їхні властивості.

Насамперед познайомимося з властивостями нашої нумерації.

Розглянемо три числа 453, 354, 435. У їхньому записі використані одні і ті ж самі цифри, але самі числа різні.

Запис цих чисел відрізняється розміщенням цифр. Отже, у записі числа важливо, яку позицію займає цифра, тобто на якому місці вона записана. Нумерація з такою властивістю називається позиційною.

Місце, на якому записана цифра у записі числа, називається ще по-іншому розрядом числа. Тфблиця нагадає розряди, які учні знають з початкової школи.

6	5	4	3	2	1
Сотні тисяч	Десятки тисяч	тисячі	сотні	десятки	одиниці
	3	5	1	7	6

Цифри в розрядах показують, скільки потрібно взяти одиниць, десяток, сотень, тисяч і т.д., щоб скласти дане число. Наприклад, число 35176 складається з таких розрядних доданків: 3 десяток тисяч+5 тисяч+1 сотні+ +7 десяток+6 одиниць.

Що означає цифра 0 у будь-якому розряді? Цифра 0 у розряді одиниць означаєвідсутність одиниць серед доданків числа;

Цифра 0 у розряді десяток означає відсутність десяток і т.д. У цьому розряді, де стоїть 0 причитанні числа нічого не

Наприклад, порівняйте:

273526 – двіста сімдесят три тисячі п’ятсот двадцять п’ять;

203026 – двіста три тисячі двадцять шість.

Чому нашу нумерацію називають десятковою? Щоб відповісти на це запитання, проаналізуємо, за яким принципом працюють лічильники оплати за електоренергію, газ, воду, проїзд автомобілі і т.д., лічильник кілометрів у будь-якому автомобілі. Робота лічильника підказує нам одне важливе правило, яке діє у наший нумерації. Десять одиниць одного розряду складають одиницю наступного, старшого розряду. Тобто, одиниця кожного наступного розряду у 10 разів більша, ніж одиниця попереднього розряду. Тому нашу нумерацію називають десятковою.

Таким чином, ми виявили дві властивості нумерації: наша нумерація позиційна і десяткова.

Позиційна десяткова нумерація дозволяє записувати як завгодно великі чмсла. Для цього зручно розряди об’єднувати в групи по три розряди, починаючи з розряду одиниць. Кожна така група називається класом. Отже учні вже знають клас одиниць і клас тисяч. Наступний клас – клас мільйонів.

Клас трильйонів			Клас мільярдів			Клас мільйонів			Клас тисяч			Клас одиниць
15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
			Сотні мільярдів	Десятки мільярдів	Одиниці мільярдів	Сотні мільйонів	Десятки мільйонів	Одиниці мільйонів	Сотні тисяч	Десятки тисяч	Одиниці тисяч	Сотні	Десятки	одиниці

Можна оформлювати правило читання багатоцифрових чисел:

1. розбити число на класи справа наліво;

2. якщо найвищий клас міститьтри цифри, то прочитати зліва направо кожний клас як трицифрове число і додати назву класу; назва останнього класу (еласу одиниць) не додається;

3. якщо найвищий клас містить одну або дві цифри, то прочитати його як одноцифрове або двоцифрове і додати назву цього класу; рештф класів читаються так само, як і в попередньому випадку.

Наприклад, 49 765 011 904 837 – сорок дев’ять трильйонів сімсот шістдесят мільярдів одинадцять мільйонів дев’ятсот чотири тисячі вісімсот тридцять сім;

103 274 095 240 – сто три мільярдра двісті сімдесят чотири мільйони дев’яносто п’ять тисяч двісті сорок.

Потрібно пам’ятати про труднощі, які виникають в окремих учнів під час записування і читання багатоцифрових чисел. Найбільше помилок допускають учні, якщо відсутні певні розряди або цілі класи. Це пов’язано з недостатнім усвідомленням ідеї поділу чисел на класи і розряди.

У таких випадках подавати диференційовану допомогу учням у вигляді вказівок, підказок, зразків розв’язання вправ і т.п.

Наприклад, перед тим, як давати вправу: “Скільки десятків (сотень і тисяч) у даному числі?” доцільно запропонувати завдання у такій формі: “Розгляньте записи і поясніть, як дізнатися, скільки всього одиниць, десятків, сотень, тисяч, десятків тисяч міститься у числі 94 897.” Учні відповідають: 94897 – одиниць; 9489 - десятків; 948 – сотень; 94 – тисячі; 9 – десятків тисяч.

Аналогічно, коли треба записати число у вигляді суми розрядних доданкфв, спочатку пропонують дітям розглянути відповідні записи.

Запис числа у вигляді суми розрядних доданків корисно проводити у двох формах:

а) 789243=700000+80000+9000+200+40+3;

б) 789243=7∙100000+8∙10000+9∙1000+2∙100+4∙10+3.

Цікаво буде учням почути інформацію про інші системи числення. Тому вчитель може дати коротку історичну довідку, в якій йдеться про переваги позиційної системи числення над непозиційними.