2. Вероятностное прогнозирование состояния при дискретном изменении диагностического признака

Элемент в процессе эксплуатации подвержен износу. Износ происходит случайным образом так, что за малый интервал времени Δt может накопиться только одно элементарное дискретное изменение износа Δx. Интенсивность появления элементарных изменений известна и равна постоянной величине λ. При этом вероятность появления m элементарных износов за промежуток времени (0, t) определяется законом Пуассона [5]. За отказ элемента считается накопление k необратимых элементарных износов. В задаче следует определить вероятность работоспособного состояния элемента для двух заданным моментам времени t_зад1 и t_зад2. Следует также определить время наступления профилактики при заданном допустимом уровне вероятности работоспособного состояния P_доп=0,97. Данные для расчета приведены в табл.2.2.

Таблица 2.2

Расчетные данные

Первая цифра номера задания	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
10-5, 1/ч	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
Вторая цифра номера задания	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
k	2	3	4	5	6	2	3	4	5	6
Третья цифра номера задания	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
tзад1103, ч	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
tзад2103, ч	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40

Для условий поставленной задачи плотность вероятности отказов подчиняется гамма-распределению [5] (для целых k – распределение называется распределением Эрланга).

Частота появления k-событий во времени для гамма-распределения:

, при t  0,

f(t) = 0, при t < 0,

где Г(k) – гамма функция [5]. Для целых k: Г(k) = (k - 1)!

Вероятность того, что за время t не произойдет накопление k элементарных износов

.

Задача определения времени наступления немедленной профилактики t_нп может быть решена программным путем с использованием уравнения

.

Уравнение решается последовательным изменением времени t_нп до тех пор, пока левая часть не станет равной правой части уравнения.